Mean value theorems for integration, MVTI
미적분학의 기본 정리, 평균값 정리와 더불어 미적분학에서 아주 중요한 정리 중 하나이다.
적분의 평균값 정리는 다음을 말한다.
만약
[a,b]에서
f가 연속,
a=b이면
∃c∈(a,b) s.t. b−a1∫abf(x)dx=f(c)이다.
f가
[a,b]에서 연속이면
[a,b]에서 최대·최소가 존재.
- ∀x∈[a,b], m≤f(x)≤M
- ⇒∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx
여기서
∫abcdx=limn→∞∑k=1ncΔxk=c(b−a)이기 때문에 위 식은 다음과 같이 정리된다.
- m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)
- m≤b−a1∫abf(x)dx≤M
- b−a1∫abf(x)dx는 구간 [a,b]에서 최대·최소의 사이에 있는 중간값이므로 중간값 정리에 의해
- ∃c∈(a,b) s.t. b−a1∫abf(x)dx=f(c)
이다. ■
