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Mean value theorems for integration, MVTI
미적분학의 기본 정리, 평균값 정리와 더불어 미적분학에서 아주 중요한 정리 중 하나이다.
1. 내용 ✎ ⊖
적분의 평균값 정리는 다음을 말한다.
만약 [a, b]에서 f가 연속, a\\neq b이면
\\exists c \\in (a, b) \\ s.t. \\ \\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx = f(c)이다.
2. 증명 ✎ ⊖
f가 [a, b]에서 연속이면 [a, b]에서 최대·최소가 존재.
이다. ■
- \\forall x\\in [a, b], \\ m\\leq f(x)\\leq M
- \\Rightarrow \\int_a^b mdx \\leq \\int_a^b f(x)dx \\leq \\int_a^b Mdx
- m(b-a)\\leq \\int_a^b f(x)dx \\leq M(b-a)
- m \\leq \\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx\\leq M
- \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x)dx는 구간 [a, b]에서 최대·최소의 사이에 있는 중간값이므로 중간값 정리에 의해
- \\exists c \\in (a, b) \\ s.t. \\ \\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx = f(c)
이다. ■
