적분판정법

급수의 수렴 여부를 판정하는 방법의 하나로써 적분법을 이용하는 것이다.

목차

1. 진술
2. 증명
3. 영상

1. 진술 _{✎ ⊖}

연속함수 f: [1, \\infty) \\to \\mathbb{R} 가 감소함수이고 항상 f(x)>0일 때, 급수 \\sum f(n)이 수렴할 필요충분조건은 적분 \\int _{ 1 }^{ \\infty }{ f(x)dx } := \\lim _{ b \\to \\infty }{ \\int _{ 1 }^{ b }{ f(x)dx } } 가 수렴하는 것이다.

2. 증명 _{✎ ⊖}

부등식 f(n+1)\\le \\int _{ n }^{ n+1 }{ f(x)dx }\\le f(n)에서 n=1부터 더하면

f(2)+...+f(n+1)\\le \\int _{ 1 }^{ n+1 }{ f(x)dx }\\le f(1)+...+f(n)

을 얻는다. 따라서

\\sum _{ n\\ge 2 }{ f(n) }\\le \\int _{ 1 }^{ \\infty }{ f(x)dx }\\le \\sum _{ n\\ge 1 }{ f(n) }\\le f(1)+\\int _{ 1 }^{ \\infty }{ f(x)dx }

이고, 비교판정법에 의해 명제가 성립한다. ■

3. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 진술 ✎ ⊖

2. 증명 ✎ ⊖

3. 영상 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

2. 증명 _{✎ ⊖}

3. 영상 _{✎ ⊖}