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直積 / Direct product
어떤 두 군의 직적은 두 군의 곱집합에 군 구조를 부여하는 방법 중 하나이다.
1. 정의 ✎ ⊖
두 군 G와 H가 있을 때, G와 H의 직적 G×H은 G와 H의 곱집합에 (g_1,h_1)×(g_2,h_2)=(g_1×g_2,h_1×h_2)와 같은 곱셈을 준 군을 말한다.
2. 성질 ✎ ⊖
임의의 두 군의 직적에서 결합법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 존재함을 쉽게 증명할 수 있다.
또한 다음과 같은 성질을 갖는다.
P=G×H, G^′=(g,eh):g∈G, H^′=(eg,H):h∈H라고 할 때,
1. G^′∩H^′=e를 만족하고
2. p가 임의의 P의 원소일 때, p=gh를 만족하는 G', H'의 원소 g, h가 존재하고
3. G', H'의 임의의 원소 g, h는 gh=hg를 만족한다.
반대로 P의 부분집합 G, H에 대해서
1. G∩H=e를 만족하고
2. p가 임의의 P의 원소일 때, p=gh를 만족하는 G, H의 원소 g, h가 존재하고
3. G, H의 임의의 원소 g, h는 gh=hg를 만족할 때
군 P는 G×H와 동형이다.
또한 |G×H|=|G|×|H|이고, G와 H는 모두 G×H의 정규부분군이다.
또한 다음과 같은 성질을 갖는다.
P=G×H, G^′=(g,eh):g∈G, H^′=(eg,H):h∈H라고 할 때,
1. G^′∩H^′=e를 만족하고
2. p가 임의의 P의 원소일 때, p=gh를 만족하는 G', H'의 원소 g, h가 존재하고
3. G', H'의 임의의 원소 g, h는 gh=hg를 만족한다.
반대로 P의 부분집합 G, H에 대해서
1. G∩H=e를 만족하고
2. p가 임의의 P의 원소일 때, p=gh를 만족하는 G, H의 원소 g, h가 존재하고
3. G, H의 임의의 원소 g, h는 gh=hg를 만족할 때
군 P는 G×H와 동형이다.
또한 |G×H|=|G|×|H|이고, G와 H는 모두 G×H의 정규부분군이다.
