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수학에서 핵(Kernel)은 사상에 의해 항등원으로 보내지는 정의역의 원소들의 집합이다.
1. 정의 ✎ ⊖
1.1. 군 동형사상 ✎ ⊖
군 G,G'와 군 준동형사상 f:G \\to G'에 대하여 f의 핵 \\operatorname{ker} f는 다음과 같이 정의된다.
\\operatorname{ker}f:=\\{g \\in G \\mid f(g) = e_{G'}\\}
\\operatorname{ker}f:=\\{g \\in G \\mid f(g) = e_{G'}\\}
1.2. 환 동형사상 ✎ ⊖
환 R,R'와 환 준동형사상 f:R \\to R'에 대하여 f의 핵 \\operatorname{ker} f는 다음과 같이 정의된다.
\\operatorname{ker}f:=\\{g \\in R \\mid f(g) = 0_{R'}\\}
\\operatorname{ker}f:=\\{g \\in R \\mid f(g) = 0_{R'}\\}
2. 성질 ✎ ⊖
2.1. 준동형사상의 단사성 ✎ ⊖
|\\operatorname{ker} f|=1이면 f는 단사이다.
2.1.1. 증명 ✎ ⊖
f가 군 준동형사상인 경우에 증명을 하자. 환 준동형사상인 경우도 비슷하다.
e_G \\in \\operatorname{ker} f이므로 \\operatorname{ker} f=\\{e_G\\}이다. 이 때 a,b \\in G에 대하여 f(a)=f(b)이면 f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=e_{G'}이므로 ab^{-1} \\in \\operatorname{ker} f, 즉 ab^{-1}=e_G이다. 따라서 a=b이고, f는 단사성을 갖는다.
여기서 |\\operatorname{ker} f|=1이면 g:G \\to f(G)는 전단사임을 알 수 있다.
e_G \\in \\operatorname{ker} f이므로 \\operatorname{ker} f=\\{e_G\\}이다. 이 때 a,b \\in G에 대하여 f(a)=f(b)이면 f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=e_{G'}이므로 ab^{-1} \\in \\operatorname{ker} f, 즉 ab^{-1}=e_G이다. 따라서 a=b이고, f는 단사성을 갖는다.
여기서 |\\operatorname{ker} f|=1이면 g:G \\to f(G)는 전단사임을 알 수 있다.
2.2. 부분군 ✎ ⊖
군 준동형사상 f:G \\to G'에 대하여 \\operatorname{ker} f은 G의 부분군이다.
2.2.1. 증명 ✎ ⊖
\\operatorname{ker} f=H라 하자.
f(e_G)=e_{G'}에서 e_G \\in H이다. 또한 a,b \\in H에 대하여 f(a^{-1})=f(a^{-1})=e_{G'},\\ f(ab)=f(a)f(b)=e_{G'}이므로 a^{-1},\\ ab \\in H이다. 따라서 H는 G의 부분군이다.
f(e_G)=e_{G'}에서 e_G \\in H이다. 또한 a,b \\in H에 대하여 f(a^{-1})=f(a^{-1})=e_{G'},\\ f(ab)=f(a)f(b)=e_{G'}이므로 a^{-1},\\ ab \\in H이다. 따라서 H는 G의 부분군이다.
2.3. 정규부분군 ✎ ⊖
2.3.1. 증명 ✎ ⊖
\\operatorname{ker} f=H라 하자.
\\forall x \\in G,\\ a \\in H에 대하여 f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x^{-1})=f(x)e_Bf(x)^{-1}=e_B이므로 xax^{-1} \\in H이다. 즉 xHx^{-1} \\subset H이고, 여기서 H \\subset xHx^{-1}이므로 xHx^{-1}=H이다. 따라서 H는 G의 정규부분군이다.
\\forall x \\in G,\\ a \\in H에 대하여 f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x^{-1})=f(x)e_Bf(x)^{-1}=e_B이므로 xax^{-1} \\in H이다. 즉 xHx^{-1} \\subset H이고, 여기서 H \\subset xHx^{-1}이므로 xHx^{-1}=H이다. 따라서 H는 G의 정규부분군이다.
