함수의 극한

크림슨 드래곤 ➤ 함수의 극한

Limit of the function

직관적으로

x가 a로 한없이 가까워질 때 f(x)가 L로 접근하면 이것을 기호로 \\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L로 표현하고, L은 x\\to a일 때 f(x)의 극한값이다.

로 정의하는 수학적 개념이다.

목차

1. 정의
1.1. 정의의 변형
1.1.1. 발산형
1.1.2. 수렴형
1.1.3. 좌극한
1.1.4. 우극한
2. 좌극한과 우극한
2.1. 필요조건
2.2. 충분조건
3. 극한의 성질
3.1. 상수
3.2. 분배
3.3. 합성
3.4. 대소
4. 보기
5. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

직관적 정의에서 가까워지다나 접근하다는 수학적 표현이 아니기 때문에 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 수학적으로 정의한다.

\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L 와 \\forall \\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|< \\epsilon은 동치이다.

풀어 말하면, 모든 양의 실수 엡실론 ε (오차)에 대해, |x-a|가 0과 δ 사이의 수일 때 |f(x)-L|이 ε보다 작아지는 어떤 양의 실수 δ가 존재한다는 뜻이다.

1.1. 정의의 변형 _{✎ ⊖}

엡실론-델타 논법으로 발산과 수렴, 좌극한과 우극한을 나타내면 다음과 같다.

1.1.1. 발산형 _{✎ ⊖}

(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=\\infty)\\equiv(\\forall M>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow f(x)>M)

1.1.2. 수렴형 _{✎ ⊖}

(\\lim\\limits_{x\\to \\infty}f(x)=L)\\equiv(\\forall \\epsilon>0,\\ \\exists N>0\\ s.t.\\ x>N \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)

1.1.3. 좌극한 _{✎ ⊖}

(\\lim\\limits_{x\\to a^-}f(x)=L)\\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ a-\\delta<x<a \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)

1.1.4. 우극한 _{✎ ⊖}

(\\lim\\limits_{x\\to a^+}f(x)=L)\\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ a<x<a+\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)

2. 좌극한과 우극한 _{✎ ⊖}

(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L)\\equiv(\\lim\\limits_{x\\to a^-}f(x)=L)\\cup(\\lim\\limits_{x\\to a^+}f(x)=L)
이 성립한다.

직관적으로는 좌극한 ∪ 우극한의 합집합이 극한이고, 극한이 되는 점을 기준으로 극한을 나눈 것이 좌극한과 우극한이다. 수학적으로는 다음의 엡실론-델타 논법을 통해 서로 동치임을 알 수 있다.

2.1. 필요조건 _{✎ ⊖}

\\\\ (\\lim\\limits_{x\\to a^-}f(x)=L)\\cup(\\lim\\limits_{x\\to a^+}f(x)=L)
\\\\ \\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ (a-\\delta<x<a)\\cup (a<x<a+\\delta) \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon) \\\\ \\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)
\\\\ \\equiv(\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L)　■

2.2. 충분조건 _{✎ ⊖}

정의에 의해 (\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L)\\equiv(\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\ s.t.\\ 0<|x-a|<\\delta \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon)이다.

이때 두 가지 경우가 존재한다.

x>a:\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\text{ s.t. } (0<x-a<\\delta\\equiv a<x<a+\\delta) \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon
x<a:\\forall\\epsilon>0,\\ \\exists\\delta>0\\text{ s.t. } (0<a-x<\\delta\\equiv a-\\delta<x<a) \\Rightarrow |f(x)-L|<\\epsilon

3. 극한의 성질 _{✎ ⊖}

\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)=L, \\lim\\limits_{x\\to a}g(x)=M, k \\in \\mathbb{R} 일 때 아래 조건이 성립한다.

3.1. 상수 _{✎ ⊖}

\\lim\\limits_{x\\to a}k=k
\\lim\\limits_{x\\to a}kf(x)=kL

3.2. 분배 _{✎ ⊖}

\\lim\\limits_{x\\to a}\\{f(x)\\pm g(x)\\}=L\\pm M
\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)g(x)=L M
\\displaystyle\\lim\\limits_{x\\to a}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{L}{ M}

3.3. 합성 _{✎ ⊖}

\\lim\\limits_{x\\to a}|f(x)|=|L|
\\lim\\limits_{x\\to a}\\sqrt{f(x)}=\\sqrt{L}

3.4. 대소 _{✎ ⊖}

\\forall x, f(x)\\geq g(x) \\Rightarrow L \\geq M

4. 보기 _{✎ ⊖}

수열의 극한

5. 영상 _{✎ ⊖}

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.

1. 정의 ✎ ⊖

1.1. 정의의 변형 ✎ ⊖

1.1.1. 발산형 ✎ ⊖

1.1.2. 수렴형 ✎ ⊖

1.1.3. 좌극한 ✎ ⊖

1.1.4. 우극한 ✎ ⊖

2. 좌극한과 우극한 ✎ ⊖

2.1. 필요조건 ✎ ⊖

2.2. 충분조건 ✎ ⊖

3. 극한의 성질 ✎ ⊖

3.1. 상수 ✎ ⊖

3.2. 분배 ✎ ⊖

3.3. 합성 ✎ ⊖

3.4. 대소 ✎ ⊖

4. 보기 ✎ ⊖

5. 영상 ✎ ⊖