함수의 극한 (편집)

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Limit of the function

직관적으로
><math>x</math>가 <math>a</math>로 한없이 가까워질 때 <math>f(x)</math>가 <math>L</math>로 접근하면 이것을 기호로 <math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=L</math>로 표현하고, <math>L</math>은 <math>x\to a</math>일 때 <math>f(x)</math>의 극한값이다.
로 정의하는 수학적 개념이다.

== 정의 ==
직관적 정의에서 가까워지다나 접근하다는 수학적 표현이 아니기 때문에 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 수학적으로 정의한다.

><math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=L</math> 와 <math>\forall \epsilon>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|< \epsilon</math>은 동치이다.

풀어 말하면, 모든 양의 실수 엡실론 [math(ε)] (오차)에 대해, [math(|x-a|)]가 [math(0)]과 [math(δ)] 사이의 수일 때 [math(|f(x)-L|)]이 [math(ε)]보다 작아지는 어떤 양의 실수 [math(δ)]가 존재한다는 뜻이다.

=== 정의의 변형===
엡실론-델타 논법으로 발산과 수렴, 좌극한과 우극한을 나타내면 다음과 같다.

==== 발산형 ====
<math>(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty)\equiv(\forall M>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M)</math>

==== 수렴형 ====
<math>(\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=L)\equiv(\forall \epsilon>0,\ \exists N>0\ s.t.\ x>N \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)</math>

==== 좌극한 ====
<math>(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L)\equiv(\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ a-\delta<x<a \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)</math>

==== 우극한 ====
<math>(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L)\equiv(\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ a<x<a+\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)</math>

== 좌극한과 우극한 ==
<math>(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L)\equiv(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L)\cup(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L)</math>
이 성립한다.

직관적으로는 좌극한 ∪ 우극한의 합집합이 극한이고, 극한이 되는 점을 기준으로 극한을 나눈 것이 좌극한과 우극한이다. 수학적으로는 다음의 엡실론-델타 논법을 통해 서로 동치임을 알 수 있다.

=== 필요조건 ===
<math> \\ (\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L)\cup(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L) </math>
[math(\\ \equiv(\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ (a-\delta<x<a)\cup (a<x<a+\delta) \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon) \\ 
\equiv(\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon))]
<math> \\ \equiv(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L)</math>　■

=== 충분조건 ===
정의에 의해 [math((\lim\limits_{x\to a}f(x)=L)\equiv(\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\ s.t.\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon))]이다.

이때 두 가지 경우가 존재한다.
* [math(x>a:\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\text{ s.t. } (0<x-a<\delta\equiv a<x<a+\delta) \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)]
* [math(x<a:\forall\epsilon>0,\ \exists\delta>0\text{ s.t. } (0<a-x<\delta\equiv a-\delta<x<a) \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )]

== 극한의 성질 ==
<math>\lim\limits_{x\to a}f(x)=L, \lim\limits_{x\to a}g(x)=M, k \in \mathbb{R}</math> 일 때 아래 조건이 성립한다.

=== 상수 ===
* <math>\lim\limits_{x\to a}k=k</math>
* <math>\lim\limits_{x\to a}kf(x)=kL</math>

=== 분배 ===
* <math>\lim\limits_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=L\pm M</math>
* <math>\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)=L M</math>
* <math>\displaystyle\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{ M}</math>

=== 합성 ===
* <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=|L|</math>
* <math>\lim\limits_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}</math>

=== 대소 ===
* <math>\forall x, f(x)\geq g(x) \Rightarrow L \geq M</math>

== 보기 ==
* [[수열의 극한]]

== 영상 ==
[youtube(hlRLsi5jseg)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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