가우스의 보조정리 (편집) (2)

(편집 필터 규칙)

== 증명 ==
[math(nl\ (l=1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}))]들은 각각 [math(\mathrm{mod}\ p)]에 대해 합동이 아니다. [math(\{nl\ \operatorname{mod} p\ |\ l=1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]보다 작은 원소를 모은 집합을 [math(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_k\})], 큰 원소를 모든 집합을 [math(B=\{b_1,b_2,\cdots,b_m\})]라고 하자.

이제 [math(C=\{c_1,c_2,\cdots,c_m\},\ c_i=p-b_i)]를 생각하자. 그러면 [math(C)]의 원소들은 모두 [math(\frac{p}{2})]보다 작다. 만약 [math(a_i=c_j)]라면 [math(a_i+b_j=p)]이므로 자연수 [math(s,t \in [1,\frac{p}{2}])]가 존재하여 [math(sn+tn \equiv a_i+b_j \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ p))]이다. 즉 [math((s+t)n \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ p))]인데, [math(0<s+t<p)]이고 [math(p \nmid n)]이므로 모순. 따라서 [math(A)]와 [math(C)]의 원소는 모두 다르다. 즉 [math(A \cup C=\{1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]이다.

[math(\begin{aligned}
\left(\frac{p-1}{2}\right)! &= \prod_{i=1}^{k} a_i \prod_{i=1}^{m} c_i \\
&\equiv \prod_{i=1}^{k} a_i \prod_{i=1}^{m} (-b_i) \\
&\equiv (-1)^m \prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}} ni\\
&\equiv (-1)^m n^{\frac{p-1}{2}} \left(\frac{p-1}{2}\right)! \pmod{p}\\
\end{aligned})]

[math(\therefore (-1)^m=(n|p))]

마지막에 오일러의 판정법을 이용한다.

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)

[math(\therefore (-1)^m=(n|p))]

마지막에 오일러의 판정법을 이용한다.

비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.

편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이 CC BY 4.0에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.