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체비쇼프 함수
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923,1496
==== 증명 ==== [math(\psi(x)=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m}))]에서 ><math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x) \leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})</math> 을 얻는다. 또한 정의에 의해 [math(\vartheta(x) \leq \sum_{p \leq x}\log x \leq x\log x)]이므로 ><math>\begin{aligned}0 \leq \psi(x) - \vartheta(x) &\leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}} x^{1/m} \log x^{1/m} \\&\leq (\log_2{x}) \sqrt{x} \log\sqrt{x} \\&= \frac{\sqrt{x}(\log x)^2}{2 \log 2}\end{aligned}</math> ><math>\therefore 0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log2}</math>
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==== 증명 ==== [math(\psi(x)=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m}))]에서 ><math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x) \leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})</math> 을 얻는다. 또한 정의에 의해 [math(\vartheta(x) \leq \sum_{p \leq x}\log x \leq x\log x)]이므로 ><math>\begin{aligned}0 \leq \psi(x) - \vartheta(x) &\leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}} x^{1/m} \log x^{1/m} \\&\leq (\log_2{x}) \sqrt{x} \log\sqrt{x} \\&= \frac{\sqrt{x}(\log x)^2}{2 \log 2}\end{aligned}</math> ><math>\therefore 0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log2}</math>
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