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Chebyshev function
파프누티 체비쇼프가 발견하고 이름 붙인 두 수론적 함수를 말한다. 이 두 함수는 서로 연관되어있다.
1. 정의 ✎ ⊖
첫 번째 체비셰프 함수(first Chebyshev function) \\vartheta(1)는 다음과 같이 정의된다.
두 번째 체비셰프 함수(second Chebyshev function) \\psi는 다음과 같이 정의된다.
\\vartheta(x):=\\sum_{p\\leq x}\\log p
두 번째 체비셰프 함수(second Chebyshev function) \\psi는 다음과 같이 정의된다.
\\psi(x):=\\sum_{p^k\\leq x}\\log p
2. 성질 ✎ ⊖
2.1. 두 함수의 연관성 ✎ ⊖
정의에 의해 다음이 성립한다.
모든 소수는 2 이상이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
또한 x>0에 대해 다음이 성립한다.
이는 다음을 보장한다.
\\psi(x)=\\sum_{k=1}^{\\infty}\\sum_{p\\leq x^{1/k}}\\log p=\\sum_{k=1}^{\\infty}\\vartheta(x^{1/k})
모든 소수는 2 이상이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\\psi(x)=\\sum_{k=1}^{\\left[\\frac{\\log x}{\\log 2}\\right]}\\vartheta(x^{1/k})=\\sum_{m\\leq\\log_2{x}}\\vartheta(x^{1/m})
또한 x>0에 대해 다음이 성립한다.
0 \\leq \\frac{\\psi(x)}{x}-\\frac{\\vartheta(x)}{x} \\leq \\frac{(\\log x)^2}{2\\sqrt{x}\\log 2}
이는 다음을 보장한다.
\\lim_{x \\to \\infty} \\left(\\frac{\\psi(x)}{x}-\\frac{\\vartheta(x)}{x}\\right)=0
2.1.1. 증명 ✎ ⊖
\\psi(x)=\\sum_{m\\leq\\log_2{x}}\\vartheta(x^{1/m})에서
을 얻는다. 또한 정의에 의해 \\vartheta(x) \\leq \\sum_{p \\leq x}\\log x \\leq x\\log x이므로
0 \\leq \\psi(x)-\\vartheta(x) \\leq \\sum_{2 \\leq m \\leq \\log_2{x}}\\vartheta(x^{1/m})
을 얻는다. 또한 정의에 의해 \\vartheta(x) \\leq \\sum_{p \\leq x}\\log x \\leq x\\log x이므로
\\begin{aligned}0 \\leq \\psi(x) - \\vartheta(x) &\\leq \\sum_{2 \\leq m \\leq \\log_2{x}} x^{1/m} \\log x^{1/m} \\\\&\\leq (\\log_2{x}) \\sqrt{x} \\log\\sqrt{x} \\\\&= \\frac{\\sqrt{x}(\\log x)^2}{2 \\log 2}\\end{aligned}
\\therefore 0 \\leq \\frac{\\psi(x)}{x}-\\frac{\\vartheta(x)}{x} \\leq \\frac{(\\log x)^2}{2\\sqrt{x}\\log2}
2.2. 망골트 함수와의 연관성 ✎ ⊖
정의에 의해 다음이 성립한다.
\\psi(x)=\\sum_{1\\leq n\\leq x}\\Lambda(n)
2.3. 소수 계량 함수와의 연관성 ✎ ⊖
x \\geq 2에 대해 다음이 성립한다.
\\vartheta(x)=\\pi(x)\\log(x)-\\int_{2}^{x}\\frac{\\pi(t)}{t}dt
\\pi(x)=\\frac{\\vartheta(x)}{\\log x}+\\int_{2}^{x}\\frac{\\vartheta(t)}{t(\\log t)^2}dt
2.4. 소수 정리와의 연관성 ✎ ⊖
체비셰프는 다음을 증명했다,
사실, 다음 두 식은 각각 소수 정리 \\lim_{x\\to\\infty}\\frac{\\pi(x)\\log x}{x}=1과 동치이다.
상수 c_1,c_2가 존재해서 x \\geq 2에 대해 c_1x \\leq \\vartheta(x) \\leq \\psi(x) \\leq \\pi(x)\\log x \\leq c_2x가 성립한다.
또한, \\liminf_{x \\to \\infty} \\frac{\\vartheta(x)}{x} = \\liminf_{x \\to \\infty} \\frac{\\psi(x)}{x} = \\liminf_{x \\to \\infty} \\frac{\\pi(x)\\log x}{x} \\geq \\log 2와
\\limsup_{x \\to \\infty} \\frac{\\vartheta(x)}{x} = \\limsup_{x \\to \\infty} \\frac{\\psi(x)}{x} = \\limsup_{x \\to \\infty} \\frac{\\pi(x)\\log x}{x} \\leq 4 \\log 2가 성립한다.
사실, 다음 두 식은 각각 소수 정리 \\lim_{x\\to\\infty}\\frac{\\pi(x)\\log x}{x}=1과 동치이다.
\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{\\vartheta(x)}{x}=1
\\lim_{x\\to\\infty}\\frac{\\psi(x)}{x}=1
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(1) \\theta로 표기하기도 한다.
