카탈랑의 추측 (원본) (1)

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Catalan's Conjecture

연속하는 두 거듭제곱수는 [math(2^3(=8))]과 [math(3^2(=9))] 밖에 없다는 수론의 정리이다. 1844년 프랑스의 수학자 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)에 의해 추측되고 158년 뒤인 2002년 루마니아 수학자 프레다 미허일레스쿠(Preda Mihăilescu)에 의해 증명되었다. 그래서 미허일레스쿠의 정리(Mihăilescu's theorem)라고도 한다.

== 진술 ==
[math(x^a-y^b=1)]을 만족하는 1보다 큰 자연수의 쌍 [math((x, y, a, b))]는 [math((3, 2, 2, 3))]으로 유일하다. 여기에서 [math(a, b)] 가 소수라는 조건이 붙어도 동치인 명제이다.

== 특수한 경우 ==
* 14세기 유대인 철학자 레위 벤 게르손(Levi ben Gerson)은 [math(3^m-2^n=1)]을 만족하는 1보다 큰 자연수 [math((m, n))]의 쌍은 [math((2, 3))]밖에 없다는 것을 증명했다.
* 1738년 오일러가 [math(x^2-y^3=1)]의 정수해는 [math(x=3, y=2)]밖에 없다는 것을 증명했다.
* 1850년 프랑스의 수학자 빅토르 아미디 르벡(Victor Amédée Lebesgue)이 [math(x^p-y^2=1)] ([math(p)]는 소수)의 정수해는 없다는 것을 증명했다.
* 1965년 중국의 수학자 커 자오(柯召)가 [math(x^2-y^q=1)] ([math(q)]는 5 이상의 소수)의 정수해는 없다는 것을 증명했다. 이에 따라 p, q 중 적어도 하나가 2인 경우는 모두 해결이 되었다.

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