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ℓp 공간은 놈 \\|\\{a_k\\}\\|_p=\\sqrt[p]{\\sum_{n=1}^\\infty |a_n|^p}이 수렴하는 수열들의 집합으로 정의된다. ℓp 공간은 Lp 공간의 특수한 경우이다.
1. ℓp 공간 사이의 포함관계 ✎ ⊖
1\\leq m < n < +\\infty인 m, n과 벡터 \\mathbf a=\\{a_k\\}에 대하여,
\\ell^m = \\{\\mathbf a| \\ \\|\\mathbf a\\|_m = \\left( \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^m\\right)^{\\frac 1 m}<+\\infty \\equiv \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^m <+\\infty \\} 와
\\ell^n = \\{\\mathbf a| \\ \\|\\mathbf a\\|_n = \\left( \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^n\\right)^{\\frac 1 n}<+\\infty \\equiv \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^n <+\\infty \\} 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
\\ell^m \\subset \\ell^n
\\ell^m = \\{\\mathbf a| \\ \\|\\mathbf a\\|_m = \\left( \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^m\\right)^{\\frac 1 m}<+\\infty \\equiv \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^m <+\\infty \\} 와
\\ell^n = \\{\\mathbf a| \\ \\|\\mathbf a\\|_n = \\left( \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^n\\right)^{\\frac 1 n}<+\\infty \\equiv \\sum_{i=1}^\\infty |a_i|^n <+\\infty \\} 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
\\ell^m \\subset \\ell^n
1.1. 증명 ✎ ⊖
ℓm 공간 안에 있는 어떤 벡터 \\mathbf a를 잡으면, \\mathbf a=\\{a_k\\}\\in \\ell^m, 즉 (\\|\\mathbf a \\|_m)^m = \\sum |a_k|^m<+\\infty이므로 \\displaystyle\\lim_{k\\to\\infty} (a_k)^m = 0이고 \\displaystyle\\lim_{k\\to\\infty} a_k = 0이다.
따라서 자연수 집합 안에서 k\\geq N \\rightarrow |a_k|<1인 적당히 큰 수 N를 잡을 수 있다. 이때 k\\geq N에 대하여
|a_k|^2 \\leq |a_k| \\\\ (\\|\\mathbf a\\|_2)^2 = \\sum_{i=1}^\\infty |a_k|^2 = \\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\\sum_{i=N}^\\infty |a_k|^2\\leq \\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\\sum_{i=N}^\\infty |a_k|
여기서 \\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2는 유한한 값 유한 개를 더한 값이므로 유한하고, \\sum_{i=N}^\\infty |a_k|는 점점 0으로 가는 1보다 작은 수들의 합이므로 유한하다. ■
따라서 자연수 집합 안에서 k\\geq N \\rightarrow |a_k|<1인 적당히 큰 수 N를 잡을 수 있다. 이때 k\\geq N에 대하여
|a_k|^2 \\leq |a_k| \\\\ (\\|\\mathbf a\\|_2)^2 = \\sum_{i=1}^\\infty |a_k|^2 = \\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\\sum_{i=N}^\\infty |a_k|^2\\leq \\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\\sum_{i=N}^\\infty |a_k|
여기서 \\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2는 유한한 값 유한 개를 더한 값이므로 유한하고, \\sum_{i=N}^\\infty |a_k|는 점점 0으로 가는 1보다 작은 수들의 합이므로 유한하다. ■
