카탈랑의 추측

미허일레스쿠 정리 ➤ 카탈랑의 추측

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Catalan's Conjecture

연속하는 두 거듭제곱수는 2^3(=8)과 3^2(=9) 밖에 없다는 수론의 정리이다. 1844년 프랑스의 수학자 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)에 의해 추측되고 158년 뒤인 2002년 루마니아 수학자 프레다 미허일레스쿠(Preda Mihăilescu)에 의해 증명되었다. 그래서 미허일레스쿠의 정리(Mihăilescu's theorem)라고도 한다.

목차

1. 진술
2. 특수한 경우

1. 진술 _{✎ ⊖}

x^a-y^b=1을 만족하는 1보다 큰 자연수의 쌍 (x, y, a, b)는 (3, 2, 2, 3)으로 유일하다. 여기에서 a, b 가 소수라는 조건이 붙어도 동치인 명제이다.

2. 특수한 경우 _{✎ ⊖}

14세기 유대인 철학자 레위 벤 게르손(Levi ben Gerson)은 3^m-2^n=1을 만족하는 1보다 큰 자연수 (m, n)의 쌍은 (2, 3)밖에 없다는 것을 증명했다.
1738년 오일러가 x^2-y^3=1의 정수해는 x=3, y=2밖에 없다는 것을 증명했다.
1850년 프랑스의 수학자 빅토르 아미디 르벡(Victor Amédée Lebesgue)이 x^p-y^2=1 (p는 소수)의 정수해는 없다는 것을 증명했다.
1965년 중국의 수학자 커 자오(柯召)가 x^2-y^q=1 (q는 5 이상의 소수)의 정수해는 없다는 것을 증명했다. 이에 따라 p, q 중 적어도 하나가 2인 경우는 모두 해결이 되었다.

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1. 진술 ✎ ⊖

2. 특수한 경우 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

2. 특수한 경우 _{✎ ⊖}