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방정식 푸는 방법

최근 수정 시각 : 2025-05-15 13:34:48 | 조회수 : 23
목차

1. n차방정식
1.1. 1차방정식
1.2. 2차방정식
1.2.1. 인수분해로 풀기
1.2.2. (x-p)^2 + q로 만드는 방법
1.2.3. 근의 공식
1.2.4. 두 근의 평균을 이용하는 방법
1.3. 고차방정식
1.3.1. 3차방정식
1.3.1.1. 카르다노의 공식
1.3.1.2. 3배각 공식
1.3.2. 4차방정식
1.3.2.1. 복이차방정식
1.3.3. 5차 이상의 방정식
2. 비 n차방정식
2.1. 분수방정식
2.2. 무리방정식
2.3. 상반방정식
2.4. 부정방정식
2.5. 연립방정식

1. n차방정식

n차방정식은 반드시 n차항의 계수로 방정식을 나눠 최고차항의 계수가 1이 되어야 한다.

1.1. 1차방정식

1차방정식은 양변에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눠도 등식이 성립한다는 성질을 이용해 풀 수 있다.
ax+b=c에서 x를 알아내려면 양변에 b를 빼서 ax=c-b로 만들고, 이것을 a로 나눠 x=(c-b)÷a 이렇게 x를 구하면 된다.

예시:
30x+4=124를 풀려면 양변에서 4를 빼서 30x=120로 만들고, 양변을 30으로 나누면 x=40이 된다.

1.2. 2차방정식

2차방정식은 ax^2 + bx + c = 0 꼴의 방정식이다.
2차방정식을 풀려면 해당 식을 인수분해를 하든지, 근의 공식을 써서 풀던지, (x+p)^2 + q 꼴로 바꾸던지 해야 한다.

어떤 경우라도 한 근을 알면 다른 한 근을 알 수 있다. 여기서부터는 실수 체계에 없는 허근(예: 음수의 제곱근)이 나올 수 있다.

어떤 경우든 세 계수가 실수이고 한 근이 p+qi이면 다른 한 근도 p-qi이다.(i는 -1의 제곱)

1.2.1. 인수분해로 풀기

바로 a(x-p)(x-q) 같이 인수들의 곱으로 바꾸는 것이다.

이 방법은 근과 계수의 관계를 이용해야 한다.

이차방정식 ax^2 + bx + c에서 두 근의 곱이 c이고, 두 근의 합이 -b이다.

1.2.2. (x-p)^2 + q로 만드는 방법

(a+b)^2 = a^2 + ab + b^2 라는 인수분해 공식과 양변에 같은 수를 제곱하거나 제곱근을 취해도 같음을 이용하면 된다.

1.2.3. 근의 공식

x = (-b 土 sqrt(b^2 - 4ac) ) ÷ 2a(1)

근의 공식을 외우고 싶다면 근의 공식 유도를 하든지 노래로 외우든지 하자.

근의 공식을 외우게 하려고 만들어진 노래(2)도 있다.

1.2.4. 두 근의 평균을 이용하는 방법

이것만 알면 근의 공식을 몰라도 된다.

이 방법은 근과 계수의 관계와 a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)라는 인수분해 공식을 이용한 방법이다.

근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합을 2로 나눈 값이 두 근의 평균이다.(3)

이제 두 근을 d+t, d-t(d는 두 근의 평균)라고 하면 두 근의 곱은 d^2 - t^2이다. 여기서 t를 구해서 두 근을 알아낼 수 있다.

1.3. 고차방정식

고차방정식은 차수가 3 이상인 방정식을 뜻한다.
고차방정식은 2차방정식을 풀 줄 알아야 풀 수 있다.

1.3.1. 3차방정식

x^3 + ax^2 + bx + c = 0이라는 3차방정식을 풀려면 2차항을 소거해야 한다.
1.3.1.1. 카르다노의 공식
푸는 방법
x^3 + ax^2 + bx + c = 0에서 x를 y - a/3로 치환해 이차항을 없앤다. y^3 + py + q = 0에서 y를 구하면 된다.

y에 u+v를 대입해 u, v의 값을 찾자.

이제 3uv+p=0, u^3 + v^3 + q=0을 동시에 만족하는 u, v의 값을 찾자.

이것만 알아도 충분히 삼차방정식을 풀 수 있지만, 매우 어려워진다.
1.3.1.2. 3배각 공식
영상
이건 삼각함수를 알아야 풀 수 있으며, 풀기 어렵다.

1.3.2. 4차방정식

3차항이나 1차항이 있으면 페라리의 방법을 쓴다.
어떤 값이든 x를 구할 수 있는 미지수를 하나 더 써야 한다.
영상 링크
1.3.2.1. 복이차방정식
복이차방정식은 ax^4 + bx^2 + c에서 x를 구해야 하는 방정식이다.

x^2를 y로 치환한 후 이차방정식처럼 풀고, y의 값을 알아내 x의 값을 알아내면 된다.

1.3.3. 5차 이상의 방정식

일반적으로 5차 이상의 방정식은 최고차항 다음으로 차수가 높은 항을 소거해도 일반 해를 못 찾으나,(4) 인수분해가 되면 적어도 하나의 일반 해를 구할 수 있다.

5차 이상의 방정식은 타원곡선, 브링 근호, 초기하함수 등을 이용하면 일반해를 구할 수 있다.

2. 비 n차방정식

2.1. 분수방정식

미지수가 분모에 있는 방정식. 통분 및 '양변에 같은 수 곱하기'를 이용해 풀 수 있다.

2.2. 무리방정식

미지수가 근호 안에 있는 방정식. 쉬우면 양변을 유리화해서 풀 수 있다.

2.3. 상반방정식

계수만 뽑았을 때 대칭이 되는 방정식. 이 경우에는 치환으로 풀 수 있다.

2.4. 부정방정식

해가 무수히 많은 방정식.
예: 0x=0이면 해가 무수히 많고, 0x가 0이 아닌 수면 해가 없다.

2.5. 연립방정식

연립방정식은 미지수 a, b가 들어간 식을 가지고 a, b를 구하는 방정식이다. 미지수 개수는 방정식 개수와 같아야 한다.(5)

연립방정식을 풀려면 하나의 미지수의 계수를 통일해서 풀거나, 하나의 미지수를 다른 미지수로 나타내고, 이후 이전 학년의 개념으로 풀면 된다.
(1) sqrt(n)은 n의 제곱근이라는 뜻이다.
(2) 이것뿐이 아니다.
(3) 당연히 두 근은 두 근의 평균으로부터 떨어진 거리가 같다.
(4) 5차 이상의 방정식은 근의 공식이 없기 때문.
(5) 미지수가 더 많으면 정확한 값이 없고, 방정식이 더 많으면 해가 없을 수 있기 때문이다.