쌍대공간 ➤ 쌍대 공간
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dual space
벡터 공간의 선형 범함수들이 이루는 벡터 공간을 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
체 F 상의 벡터 공간 V에 대해 V에서 F로 가는 선형 변환을 V의 선형 범함수(linear functional)라고 하고, 이들의 집합 \\mathcal L (V,F)은 벡터 공간을 이룬다. 이 때, \\mathcal L (V,F)를 V의 쌍대 공간이라하고, 간단히 V^* 혹은 V'로 나타낸다.
2. 쌍대 기저 ✎ ⊖
e_1, e_2,\\cdots ,e_n을 기저로 가지는 유한 차원의 벡터 공간 V의 쌍대 공간 V^*는 e^i(e_j) = \\delta_{ij}를 만족하는 기저 e^1, e^2,\\cdots ,e^n를 가지는데, 이를 V^*의 쌍대 기저(dual basis)라고 한다. V와 V^*는 차원이 같고, 따라서 동형이다.
3. 겹쌍대 공간 ✎ ⊖
V^*의 쌍대 공간을 겹쌍대 공간(double dual space)라 하고 V^{**}로 표시한다. V^{**}는 대입 사상 f:v\\mapsto \\varphi_n(f)=f(n)에 의해 V와 동형이다.
4. 쌍대 공간과 겹선형 형식 ✎ ⊖
V는 V^*와도 동형이고 V^{**}와도 동형이다. 그런데 V과 V^{**} 사이에는 일반적인 동형 사상이 존재하지만(이를 자연스러운 동형이라고 한다), V와 V^*는 단순히 차원이 같아서 동형인 것이고, 일반적인 동형 사상이 존재하지 않는다. 이 때, V와 V^* 사이의 동형 사상을 정해주면, 그 동형 사상은 비퇴화 겹선형 형식이 되고, 반대로 임의의 비퇴화 겹선형 형식은 V와 V^* 사이의 동형 사상이라고 할 수 있다.
