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Ideal, 이데알
환 의 원소들을 곱셈으로 흡수하는 의 가법적 부분군을 말하는 것으로, 쿠머가 제시한 이상수(ideal number)의 개념을 데데킨트가 일반화시킨 것이다.
1. 정의 ✎ ⊖
환 의 부분집합 에 대해 가 의 부분군일 때
이면 를 의 아이디얼(Ideal) 혹은 양쪽아이디얼(Two-sided ideal)이라고 한다. 임의의 , 에 대해 를 만족하면 우아이디얼(Right ideal), 를 만족하면 좌아이디얼(Left ideal)이라고 한다. 이 가환환이면 양측아이디얼을 갖는다.
이면 를 의 아이디얼(Ideal) 혹은 양쪽아이디얼(Two-sided ideal)이라고 한다. 임의의 , 에 대해 를 만족하면 우아이디얼(Right ideal), 를 만족하면 좌아이디얼(Left ideal)이라고 한다. 이 가환환이면 양측아이디얼을 갖는다.
2. 예시 ✎ ⊖
- 에서 를 상수항이 짝수인 모든 다항식의 집합이라고 하면 는 아이디얼이다.
- 는 의 부분환이지만 의 아이디얼이 아니다.
3. 아이디얼의 생성 ✎ ⊖
항등원이 있는 가환환 과 에 대해 집합 를 다음과 같이 정의하자.
그러면 는 의 아이디얼이고, 에 의해 생성되는 아이디얼이라고 한다. 만약 이면 를 주아이디얼이라고 한다.
그러면 는 의 아이디얼이고, 에 의해 생성되는 아이디얼이라고 한다. 만약 이면 를 주아이디얼이라고 한다.
4. 종류 ✎ ⊖
- 진 아이디얼(Proper ideal) : 이 아닌 의 아이디얼을 말한다. 참고로, 어떤 아이디얼이 을 포함한다는 것은 그 아이디얼이 환 전체라는 것과 동치이다.
- 극대 아이디얼(Maximal ideal) : 를 포함하면서 와 같지 않은 진 아이디얼이 존재하지 않는 진 아이디얼 를 말한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 체가 된다.
- 소 아이디얼(Prime ideal) : 의 임의의 원소 와 에 대해 가 의 원소라면 언제나 와 중 적어도 하나는 의 원소가 되는 진 아이디얼 를 말한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 정역이 된다.
- 주 아이디얼(Principal ideal): 하나의 원소 에 의해 생성(generate)된 아이디얼을 말한다.
5. 연산 ✎ ⊖
아이디얼은 집합이므로 합집합과 교집합 등의 집합 연산을 할 수 있다. 일반적으로 환 의 두 아이디얼 , 의 교집합 은 의 아이디얼이지만, 합집합 은 아이디얼이 아닐 수도 있다.
그 이외에 다음의 연산들이 정의된다.
그 이외에 다음의 연산들이 정의된다.
5.1. 덧셈 ✎ ⊖
이는 와 를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다.
5.2. 곱셈 ✎ ⊖
이는 를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다. 일반적으로 두 아이디얼의 곱은 두 아이디얼의 교집합의 부분집합이다.