아이디얼 - 시드위키

Ideal, 이데알

환 R의 원소들을 곱셈으로 흡수하는 R의 가법적 부분군을 말하는 것으로, 쿠머가 제시한 이상수(ideal number)의 개념을 데데킨트가 일반화시킨 것이다.

목차

1. 정의
2. 예시
3. 아이디얼의 생성
4. 종류
5. 연산
5.1. 덧셈
5.2. 곱셈
6. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

환 R의 부분집합 I에 대해 (I,+)가 (R, +)의 부분군일 때

\\forall x \\in I, \\forall r \\in R :(x \\cdot r \\in I)\\wedge(r\\cdot x \\in I)

이면 I를 R의 아이디얼(Ideal) 혹은 양쪽아이디얼(Two-sided ideal)이라고 한다. 임의의 r\\in R, x\\in I에 대해 x \\cdot r \\in I를 만족하면 우아이디얼(Right ideal), r\\cdot x \\in I를 만족하면 좌아이디얼(Left ideal)이라고 한다. R이 가환환이면 양측아이디얼을 갖는다.

2. 예시 _{✎ ⊖}

\\mathbb{Z}[x]에서 I를 상수항이 짝수인 모든 다항식의 집합이라고 하면 I는 아이디얼이다.
\\mathbb{Z}는 \\mathbb{Q}의 부분환이지만 \\mathbb{Q}의 아이디얼이 아니다.

3. 아이디얼의 생성 _{✎ ⊖}

항등원이 있는 가환환 R과 c_1,c_2,\\cdots,c_n\\in R에 대해 집합 I를 다음과 같이 정의하자.

I=\\{r_1c_1+r_2c_2+\\cdots+r_nc_n\\vert r_1,r_2,\\cdots,r_n\\in R\\}

그러면 I는 R의 아이디얼이고, c_1,c_2,\\cdots,c_n에 의해 생성되는 아이디얼이라고 한다. 만약 n=1이면 I를 주아이디얼이라고 한다.

4. 종류 _{✎ ⊖}

진 아이디얼(Proper ideal) : R이 아닌 R의 아이디얼을 말한다. 참고로, 어떤 아이디얼이 1을 포함한다는 것은 그 아이디얼이 환 전체라는 것과 동치이다.
극대 아이디얼(Maximal ideal) : I를 포함하면서 I와 같지 않은 진 아이디얼이 존재하지 않는 진 아이디얼 I를 말한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 체가 된다.
소 아이디얼(Prime ideal) : R의 임의의 원소 a와 b에 대해 ab가 I의 원소라면 언제나 a와 b 중 적어도 하나는 I의 원소가 되는 진 아이디얼 I를 말한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 정역이 된다.
주 아이디얼(Principal ideal): 하나의 원소 a\\in R에 의해 생성(generate)된 아이디얼을 말한다.

5. 연산 _{✎ ⊖}

아이디얼은 집합이므로 합집합과 교집합 등의 집합 연산을 할 수 있다. 일반적으로 환 R의 두 아이디얼 I, J의 교집합 I\\cap J은 R의 아이디얼이지만, 합집합 I\\cup J은 아이디얼이 아닐 수도 있다.

그 이외에 다음의 연산들이 정의된다.

5.1. 덧셈 _{✎ ⊖}

I+J=\\{x+y\\mid x\\in I, y\\in J\\}

이는 I와 J를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다.

5.2. 곱셈 _{✎ ⊖}

IJ=\\left\\{\\sum_{i=1}^n x_i y_i\\mid x_i\\in I, y_i\\in J\\right\\}

이는 \\{xy\\mid x\\in I, y\\in J\\}를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다. 일반적으로 두 아이디얼의 곱은 두 아이디얼의 교집합의 부분집합이다.

6. 영상 _{✎ ⊖}

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아이디얼

1. 정의 ✎ ⊖

2. 예시 ✎ ⊖

3. 아이디얼의 생성 ✎ ⊖

4. 종류 ✎ ⊖

5. 연산 ✎ ⊖

5.1. 덧셈 ✎ ⊖

5.2. 곱셈 ✎ ⊖

6. 영상 ✎ ⊖