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Jacobi symbol
르장드르 기호의 확장이다.
1. 정의 ✎ ⊖
자연수 n과 홀수 P=\\prod_{i=1}^{r}p_i^{e_i}에 대하여,
로 정의한다. 또한, (n|1)=1이다.
(n|P)=\\prod_{i=1}^{r}(n|p_i)^{e_i}
로 정의한다. 또한, (n|1)=1이다.
2. 성질 ✎ ⊖
자연수 a,m,n과 홀수 P에 대하여 다음이 성립한다.
모두 르장드르 기호의 성질을 이용하면 간단하게 증명된다.
모두 르장드르 기호의 성질을 이용하면 간단하게 증명된다.
- (m|P)(n|P)=(mn|P)
- (n|P)(n|Q)=(n|PQ)
- (m|P)=(n|P)\\ \\text{if}\\ m \\equiv n\\ (\\operatorname{mod}\\ P)
- (a^2n|P)=(n|P)\\ \\text{if}\\ (a,P)=1
- (-1|P)=(-1)^{\\frac{P^2-1}{2}}
- (2|P)=(-1)^{\\frac{P^2-1}{8}}
2.1. 상반공식 ✎ ⊖
이차 상반법칙의 일반화로, 다음이 성립한다.
(P|Q)(Q|P)=(-1)^{\\frac{(P-1)(Q-1)}{4}}
(P|Q)(Q|P)=(-1)^{\\frac{(P-1)(Q-1)}{4}}
