자유군

자유군(Free gruop)은 군의 일종이다.

목차

1. 정의
1.1. 자유 모노이드
1.2. 자유군
2. 예시

1. 정의 _{✎ ⊖}

1.1. 자유 모노이드 _{✎ ⊖}

임의의 집합 x에 대해서 그 원소를 늘어놓은 문자열을 단어(word)라고 한다. 이때, 이 단어들에 대한 연산 \\star를 이 두 단어를 붙혀쓰는 연산으로 정의하자.

이 때, 여기서 결합법칙이 성립하며, 닫혀 있고, 빈 문자열이 이 연산의 항등원이므로 (F_X, \\star)는 모노이드가 된다.

1.2. 자유군 _{✎ ⊖}

임의의 집합 X=\\{ a, b, c, ... \\}에 대해서 X'=\\{ a, a^{-1}, b, b^{-1} c, c^{-1} ... \\}"와 같이 정의하자. 여기서도 마찬가지 방식으로 단어를 생각할 수 있을 것이고, 동치관계 \\sim에 대해서 aa^{-1}\\sim1(1은 항등원)이라 생각하면 이 단어의 집합을 임의의 원소에 대해서 그 동치류를 모두 모은 집합에서 그 동치류 간에 적절한 연산이 존재하여 이 집합은 군이 된다. 이렇게 정의한 자유군을 일반적으로 FX 혹은 F_X라고 쓴다.

2. 예시 _{✎ ⊖}

X = \\emptyset이라면 F_X는 자명군이 된다.
|X|=1이라면 F_X의 자유군은 정수군과 동형이 된다.

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1. 정의 ✎ ⊖

1.1. 자유 모노이드 ✎ ⊖

1.2. 자유군 ✎ ⊖

2. 예시 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

1.1. 자유 모노이드 _{✎ ⊖}

1.2. 자유군 _{✎ ⊖}

2. 예시 _{✎ ⊖}