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Integration
간단히 말하여 적분을 하는 방법을 말한다. 적분법에는 다음과 같은 것들이 있다.
1. 치환적분법 ✎ ⊖
치환적분법(Integration by substitution, U-substitution)은 복잡한 수식을 새로운 문자를 도입하여 간단하게 만드는 방법을 말한다.
1.1. 공식(부정적분) ✎ ⊖
A, B\\subset \\mathbb{R}, \\ f:A\\to\\mathbb{R}, g:B\\to\\mathbb{R}가 g(B)\\subset A이고 f가 g(B)에서 연속이면
이다.
\\int f'(g(x))g'(x)dx = \\int f'(u)du, \\ u = g(x)
이다.
1.1.1. 증명 ✎ ⊖
f의 부정적분을 F라 하자. 연쇄 법칙에 의해 [F(g(x))]' = F'(g(x))g'(x)이다. u = g(x)로 치환을 하면
이다. ■
사실 간단하게 미분 개념을 도입하여 대입을 시켜주어도 무방하다. du = \\frac{du}{dx}dx = u'dx = g'(x)dx이므로
이다.
\\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+C = F(u)+C = \\int F'(u)du = \\int f(u)du
이다. ■
사실 간단하게 미분 개념을 도입하여 대입을 시켜주어도 무방하다. du = \\frac{du}{dx}dx = u'dx = g'(x)dx이므로
\\int f'(g(x))g'(x)dx = \\int f'(u)du
이다.
1.2. 주의사항 ✎ ⊖
주의해야 할 것은, 한 문자를 도입을 했으면 모두 그 문자로 바꿔야 하는 것이다. 예를 들어,
라고 할때,
같이 두 문자가 같이 섞여있으면 적분할 수 없다.
정적분인 경우에는 위끝과 아래끝을 바꾸어주는 것을 잊지 말아야 한다.
\\int x\\sqrt{4-x}dx, u=4-x
라고 할때,
\\int x\\sqrt{u}dx나, \\int (4-u)\\sqrt{u}dx
같이 두 문자가 같이 섞여있으면 적분할 수 없다.
정적분인 경우에는 위끝과 아래끝을 바꾸어주는 것을 잊지 말아야 한다.
