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카이제곱분포

최근 수정 시각 : 2024-10-26 19:12:39 | 조회수 : 8

Chi-squared distribution

정규분포를 이용한 새로운 확률분포다.

목차

1. 정의
2. 성질
2.1. 확률밀도함수
3. 영상

1. 정의

확률변수 Z_1,Z_2,\\cdots,Z_n이 독립이고 표준정규분포를 따른다고 하자. 확률변수
Y=Z_1^2+Z_2^2+\\cdots+Z_n^2

를 자유도 n인 카이제곱분포라고 한다. 이때, Y\\sim \\chi_n^2로 표기한다.

2. 성질

2.1. 확률밀도함수

표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대해 Z^2\\sim \\Gamma\\left(\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)이므로, 표준정규분포를 따르는 독립인 확률변수 Z_1,Z_2,\\cdots,Z_n에 대해 Y=Z_1^2+Z_2^2+\\cdots+Z_n^2라 하면 Y\\sim \\Gamma\\left(\\dfrac{n}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)이다. 따라서
f(x;n)=\\dfrac{1}{2^{n/2}\\Gamma(n/2)}x^{(n/2)-1}e^{-(x/2)} (x>0)

을 얻는다.

3. 영상