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Knuth's up-arrow notation
도널드 크누스가 1976년에 개발한 것으로, 반복되는 거듭제곱을 나타내기 위해 사용된다.
1. 정의 ✎ ⊖
x,y \\in \\mathbb{N}, 2≤n\\in\\mathbb{N}에 대해 x\\uparrow^1 y = x^y라 하면
과 같이 귀납적으로 정의한다.
x \\uparrow ^n y=\\underbrace{x \\uparrow ^{n-1} x \\uparrow ^{n-1} x \\uparrow ^{n-1} \\cdot\\cdot\\cdot}_{y\\ \\mathrm{time}}
과 같이 귀납적으로 정의한다.
2. 명명 ✎ ⊖
- n이 1일 때의 연산을 거듭제곱(Power)이라고 한다.
- n이 2일 때의 연산을 테트레이션(Tetration)이라고 한다.
- n이 3일 때의 연산을 펜테이션(Pentation)이라고 한다.
- n이 4일 때의 연산을 헥세이션(Hexation)이라고 한다.
3. 표현 ✎ ⊖
x,y,z \\in \\mathbb{N}에 대해
- x\\uparrow^{z} y = x\\underbrace{\\uparrow\\uparrow\\uparrow\\cdots\\uparrow}_{z\\ \\mathrm{time}} y
- x\\uparrow y \\uparrow z = x^{y^z}
- x\\uparrow\\uparrow y \\uparrow\\uparrow z = x \\uparrow ^2 y \\uparrow ^2 z=\\underbrace{\\underbrace{x \\uparrow x \\uparrow x \\uparrow \\cdot\\cdot\\cdot}_{y\\ \\mathrm{time}} \\uparrow \\underbrace{x \\uparrow x \\uparrow x \\uparrow \\cdot\\cdot\\cdot}_{y\\ \\mathrm{time}} \\uparrow \\cdot\\cdot\\cdot}_{z\\ \\mathrm{time}}
4. 주의 ✎ ⊖
x\\uparrow y \\uparrow z = x^{y^z}의 값은, (x^{y})^{z}=x^{yz} 가 아닌 x^{(y^z)}로 구해야 한다.
5. 보기 ✎ ⊖
- 애커만 함수
- 하이퍼 연산
- 그레이엄 수
