코시 열

Cauchy sequence

수열이 진행될 수록 임의의 원소들의 거리가 가까워지는 점열이다.

목차

1. 정의
1.1. 실수와 복소수에서
1.2. 거리공간에서
2. 완비성
2.1. 예시
3. 참고문헌
4. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

1.1. 실수와 복소수에서 _{✎ ⊖}

실수열 (또는 복소수열) \\{x_n\\}_{n=1}^{\\infty}에 대해, 임의의 양수 \\epsilon에 대해 양의 정수 N이 존재하여 임의의 정수 m,n\\ge N에 대해 |x_n-x_m|<\\epsilon이면 \\{x_n\\}_{n=1}^{\\infty}을 코시 수열이라 한다.

1.2. 거리공간에서 _{✎ ⊖}

(X,d)를 거리공간이라 하자. 점열 \\{x_n\\}_{n=1}^{\\infty}에 대해, 임의의 양수 \\epsilon에 대해 양의 정수 N이 존재하여 임의의 정수 m,n\\ge N에 대해 d(x_n,x_m)<\\epsilon이면 \\{x_n\\}_{n=1}^{\\infty}을 코시 열이라 한다.

2. 완비성 _{✎ ⊖}

거리공간 (X,d)에서 임의의 X의 코시 열이 X 위의 점으로 수렴하면 (X,d)를 완비거리공간이라고 한다. 완비거리공간에서 임의의 코시 열은 수렴한다.

2.1. 예시 _{✎ ⊖}

\\mathbb{R}, \\mathbb{C}는 완비거리공간이다.
\\mathbb{Q}는 완비거리공간이 아니다.

3. 참고문헌 _{✎ ⊖}

Croom, Fred H (1989). Principles of Topology. Singapore: Thomson. ISBN 9812432884

1. 정의 ✎ ⊖

1.1. 실수와 복소수에서 ✎ ⊖

1.2. 거리공간에서 ✎ ⊖

2. 완비성 ✎ ⊖

2.1. 예시 ✎ ⊖

3. 참고문헌 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖