쿨렌 수

최근 수정 시각 : 2024-10-13 16:02:58 | 조회수 : 29

Cullen number

n2n+1n \cdot 2^n+1 꼴의 자연수를 말하며, CnC_n으로 표현한다.

목차

1. 역사
1.1. 인수분해
2. 가분성
3. 쿨렌 소수

1. 역사

1905년 James Cullen은 처음으로 Cn=n2n+1C_n=n \cdot 2^n+1 꼴의 숫자들에 대해 연구를 시작했다.

그는 n=53n=53일 때 CnC_n이 소수일 여지를 남겨두고 CnC_n1<n<1001 < n < 100인 53 이외의 모든 nn에 대해 합성수임을 발견했다.

1906년 Allan Joseph Champneys Cunningham은 5591 C53C_{53}의 소인수라는 것을 발견함으로서 C53C_{53}이 합성수임을 보였다.

그리고 Cullen의 발견내용을 n=141n=141일 때 C141C_{141}이 소수일 여지를 남겨두고 1<n2001 < n \leq 200로 확장시켰다. 또한 쿨렌 소수가 매우 드물게 나타난다는 것을 지적했다.

1957년 Raphael Mitchel Robinson은 C141C_{141}1<n10001 < n \leq 1000에서 유일한 소수임을 보였다.

1976년 Christopher Hooley는
showed that the natural density of positive integers nxn \leq x for which CnC_n is a prime is of the order o(x)o(x) for x x \to \infty\ \Rightarrow almost all Cullen numbers are composite


2009년 일본의 PrimeGrid 참여자는 현재까지 알려진 가장 큰 쿨린 소수 6679881 × 26679881 + 1를 찾았다, 이는 2,010,852자리 숫자이다.

1.1. 인수분해

많은 방법, 프로그램, 그리고 컴퓨터들이 사용되었다.
  • 방법 : MPQS (multiple polynomial quadratic sieve), ECM (elliptic curve method)
  • 프로그램 : UBASIC, ECMX, MPQSX, MPQSHD, MVFAC, APRT-CL (Cohen-Lenstra version of Adleman-Pomerance-Rumely Test)
  • 컴퓨터 : IBM ES/9021-440 mainframe, Fujitsu VP 2200/10 vector processor, SNI S100/10

2. 가분성

  • 홀수 pp에 대하여 nk=(2kk)(p1)k, k>0nk = ( 2^k - k )( p - 1 ) - k ,\ k > 0이면 pCnkp | C_{nk}이다.
  • (2p)=1(2|p) = -1이면 pC(p+1)/2p | C_{(p+1)/2}, (2p)=1(2|p) = 1이면 pC(3p1)/2p | C_{(3p-1)/2}이다.
  • {Cnmodp}\{C_n \operatorname{mod} p\} 은 주기 pordp2p \operatorname{ord}_p 2를 가진다.

3. 쿨렌 소수

CnC_n이 소수일 때 이를 쿨렌 소수라고 한다,

n2n±1n \cdot 2^n \pm 1가 모두 소수일 때, 이를 쿨렌 쌍둥이 소수라고 한다.

A005849는 CnC_n이 소수인 nn의 수열이다. 또한 A050920는 쿨렌 소수들의 수열이다.

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