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Cullen number
n \\cdot 2^n+1 꼴의 자연수를 말하며, C_n으로 표현한다.
1. 역사 ✎ ⊖
1905년 James Cullen은 처음으로 C_n=n \\cdot 2^n+1 꼴의 숫자들에 대해 연구를 시작했다.
그는 n=53일 때 C_n이 소수일 여지를 남겨두고 C_n이 1 < n < 100인 53 이외의 모든 n에 대해 합성수임을 발견했다.
1906년 Allan Joseph Champneys Cunningham은 5591 C_{53}의 소인수라는 것을 발견함으로서 C_{53}이 합성수임을 보였다.
그리고 Cullen의 발견내용을 n=141일 때 C_{141}이 소수일 여지를 남겨두고 1 < n \\leq 200로 확장시켰다. 또한 쿨렌 소수가 매우 드물게 나타난다는 것을 지적했다.
1957년 Raphael Mitchel Robinson은 C_{141}이 1 < n \\leq 1000에서 유일한 소수임을 보였다.
1976년 Christopher Hooley는
2009년 일본의 PrimeGrid 참여자는 현재까지 알려진 가장 큰 쿨린 소수 6679881 × 26679881 + 1를 찾았다, 이는 2,010,852자리 숫자이다.
그는 n=53일 때 C_n이 소수일 여지를 남겨두고 C_n이 1 < n < 100인 53 이외의 모든 n에 대해 합성수임을 발견했다.
1906년 Allan Joseph Champneys Cunningham은 5591 C_{53}의 소인수라는 것을 발견함으로서 C_{53}이 합성수임을 보였다.
그리고 Cullen의 발견내용을 n=141일 때 C_{141}이 소수일 여지를 남겨두고 1 < n \\leq 200로 확장시켰다. 또한 쿨렌 소수가 매우 드물게 나타난다는 것을 지적했다.
1957년 Raphael Mitchel Robinson은 C_{141}이 1 < n \\leq 1000에서 유일한 소수임을 보였다.
1976년 Christopher Hooley는
showed that the natural density of positive integers n \\leq x for which C_n is a prime is of the order o(x) for x \\to \\infty\\ \\Rightarrow almost all Cullen numbers are composite
2009년 일본의 PrimeGrid 참여자는 현재까지 알려진 가장 큰 쿨린 소수 6679881 × 26679881 + 1를 찾았다, 이는 2,010,852자리 숫자이다.
1.1. 인수분해 ✎ ⊖
많은 방법, 프로그램, 그리고 컴퓨터들이 사용되었다.
- 방법 : MPQS (multiple polynomial quadratic sieve), ECM (elliptic curve method)
- 프로그램 : UBASIC, ECMX, MPQSX, MPQSHD, MVFAC, APRT-CL (Cohen-Lenstra version of Adleman-Pomerance-Rumely Test)
- 컴퓨터 : IBM ES/9021-440 mainframe, Fujitsu VP 2200/10 vector processor, SNI S100/10
2. 가분성 ✎ ⊖
- 홀수 p에 대하여 nk = ( 2^k - k )( p - 1 ) - k ,\\ k > 0이면 p | C_{nk}이다.
- (2|p) = -1이면 p | C_{(p+1)/2}, (2|p) = 1이면 p | C_{(3p-1)/2}이다.
- \\{C_n \\operatorname{mod} p\\} 은 주기 p \\operatorname{ord}_p 2를 가진다.
3. 쿨렌 소수 ✎ ⊖
C_n이 소수일 때 이를 쿨렌 소수라고 한다,
n \\cdot 2^n \\pm 1가 모두 소수일 때, 이를 쿨렌 쌍둥이 소수라고 한다.
A005849는 C_n이 소수인 n의 수열이다. 또한 A050920는 쿨렌 소수들의 수열이다.
n \\cdot 2^n \\pm 1가 모두 소수일 때, 이를 쿨렌 쌍둥이 소수라고 한다.
A005849는 C_n이 소수인 n의 수열이다. 또한 A050920는 쿨렌 소수들의 수열이다.
