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타원 곡선(Elliptic curve)이란 군 연산을 준 곡선이며 대수학적 성질과 기하학적 성질을 동시에 가지고 있어 매우 중요하게 다뤄진다.
1. 정의 ✎ ⊖
고등학교 수준으로 정의하자면 a,b가 실수면 실수 집합 위의 타원곡선은 y^2=x^3+ax+b 꼴의 방정식으로 정의된다. 좀 더 명확하게 정의하자면 k가 체이고 a,b∈k일 때 k 위의 타원곡선 E(k)는 y^2z=x^3+axz^2+bz^3를 만족하는 (x:y:z)\\in \\Bbb{P}^3_{k} 들의 모임으로 정의한다. 여기에서 4a^3+27b^2\\ne 0이다.
대수기하의 언어를 쓰자면 체 k 위의 타원곡선 E(k)은 k 위의 nonsingular projective curve of genus 1으로 정의된다. 이는 임의의 가환환 R로 일반화될 수 있는데 이 때는 정의가 R 위의 nonsingular, projective scheme of all geometric fibre is dimension 1이 된다.
대수기하의 언어를 쓰자면 체 k 위의 타원곡선 E(k)은 k 위의 nonsingular projective curve of genus 1으로 정의된다. 이는 임의의 가환환 R로 일반화될 수 있는데 이 때는 정의가 R 위의 nonsingular, projective scheme of all geometric fibre is dimension 1이 된다.
2. 타원 곡선을 군으로 만들기 ✎ ⊖
타원 곡선은 사실 그냥 정의되지 않고 사영평면 위에서 정의되는 곡선이다. 왜 사영평면 위에서 정의하냐면 사영평면에서 정의하면 타원 곡선에 적당한 군 구조를 줄 수 있기 때문이다.(1)
P,Q\\in \\Bbb{P}^3_{k}라는 서로 다른 점을 생각하면 P,Q를 잇는 직선과 타원곡선 E(k)가 만나는 점은 P,Q를 빼면 하나로 유일하게 결정되거나 없을 수 있으며 하나로 유일하게 결정되는 점을 R이라고 하면 P+Q=-R이라고 정의한다.
여기에서 −R은 R을 x축 대칭한 점이라고 생각한다. 그러니까 y좌표에 −를 붙인다. −를 붙이는 이유는 P+Q+R=0을 만들기 위함이고 이것은 기초 타원곡선 이론에서 근과 계수의 관계를 쓸 때 유용하다. 그 점이 없으면 P+Q=(0:0:1)로 정의한다.
이제 2P=P+P는 P를 지나는 접선을 생각하고 이 때도 P 이외의 E(k)와 그 접선이 만나는 점은 유일하거나 없을 수 있으며 유일하면 그 점을 R이라고 할 때 2P=-R 이라고 정의하고 없으면 2P=(0:0:1)이라고 정의한다. 여기에서 4a^3+27b^2\\ne 0의 의미가 드러나는데 바로 모든 P에 대해서 P를 지나는 접선을 만들고 싶어서 그런다. 안 그러면 적당한 P에 대해서 그 P에서는 접선을 생각할 수 없다.
이렇게 정의하면 E(k)는 항등원은 (0:0:1)이 되며 P의 역원은 −P가 되는 아벨 군이 된다.
P,Q\\in \\Bbb{P}^3_{k}라는 서로 다른 점을 생각하면 P,Q를 잇는 직선과 타원곡선 E(k)가 만나는 점은 P,Q를 빼면 하나로 유일하게 결정되거나 없을 수 있으며 하나로 유일하게 결정되는 점을 R이라고 하면 P+Q=-R이라고 정의한다.
여기에서 −R은 R을 x축 대칭한 점이라고 생각한다. 그러니까 y좌표에 −를 붙인다. −를 붙이는 이유는 P+Q+R=0을 만들기 위함이고 이것은 기초 타원곡선 이론에서 근과 계수의 관계를 쓸 때 유용하다. 그 점이 없으면 P+Q=(0:0:1)로 정의한다.
이제 2P=P+P는 P를 지나는 접선을 생각하고 이 때도 P 이외의 E(k)와 그 접선이 만나는 점은 유일하거나 없을 수 있으며 유일하면 그 점을 R이라고 할 때 2P=-R 이라고 정의하고 없으면 2P=(0:0:1)이라고 정의한다. 여기에서 4a^3+27b^2\\ne 0의 의미가 드러나는데 바로 모든 P에 대해서 P를 지나는 접선을 만들고 싶어서 그런다. 안 그러면 적당한 P에 대해서 그 P에서는 접선을 생각할 수 없다.
이렇게 정의하면 E(k)는 항등원은 (0:0:1)이 되며 P의 역원은 −P가 되는 아벨 군이 된다.
3. 유용한 정리 ✎ ⊖
- 모델-베유 정리(Mordell-Weil Theorem) : 임의의 수체 k 상의 타원곡선의 유리점의 집합 E(k)는 유한 생성 아벨군이다. 이것은 E(k)의 꼬임 부분군과 계수에 대해서 생각할 수 있게 해 준다.
- 나겔-뤼츠 정리(Nagell-Lutz Theorem)
- 메이저의 꼬임 정리(Mazur’s Torsion Theorem): E(Q)의 꼬임 부분군으로 가능한 것은 순환군 \\mathbb Z/n\\mathbb Z (n=1,2,…,9,10,12)와 \\mathbb Z/2\\mathbb Z\\oplus\\mathbb Z/2n\\mathbb Z (n=1,2,3,4) 밖에 없다.
- \\Bbb{F}_{q}가 위수 q인 finite field일 때 \\Bbb{F}_{q} 위의 타원곡선을 E라고 하면 |q+1-|E||\\le 2\\sqrt{q}가 성립한다.
(1) 임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있긴 하지만 이렇게 주면 그다지 의미있는 군이 될 수 없다.
