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폐집합(Closed set), 혹은 닫힌 집합은 직관적으로 그 집합 내의 점으로 '근사'시킬 수 있는 모든 점을 포함하는 집합, 혹은 그 집합의 경계를 포함하고 있는 집합을 가리킨다.
1. 정의 ✎ ⊖
위상수학에서 폐집합은 다음과 같이 정의되며, 이는 모두 동치이다.
- A가 폐집합이라는 것은 그 여집합이 개집합인 것이다.
- A가 폐집합이라는 것은 A가 그 폐포 \\bar A와 같은 것이다.
- A가 폐집합이라는 것은 A가 그 집적점들의 집합을 포함하는 것이다.
2. 성질 ✎ ⊖
위상이 주어진 위상공간 X에 대해 다음이 성립한다.
- \\emptyset, X는 닫혀있다.
- U,V가 닫혀있으면 U\\cup V는 닫혀있다. 즉, 유한한 닫힌 집합의 모임의 합집합은 닫혀있다.
- 임의의 첨수 \\alpha\\in I에 대해 U_\\alpha가 닫혀있으면 \\bigcap_{\\alpha\\in I} U_\\alpha는 닫혀있다.
3. 역할 ✎ ⊖
폐집합의 개념은 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 해석학에서는 함수의 연속성을 정의하거나 컴팩트 집합을 정의하는 데 사용된다. 기하학에서는 다양한 도형의 성질을 연구하는 데 활용된다. 또한, 함수해석학, 미분기하학 등 고급 수학 분야에서도 기본적인 개념으로 등장한다.
