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폰 노이만 우주

최근 수정 시각 : 2025-03-17 16:58:48 | 조회수 : 46
집합론에서 폰 노이만 우주(Von Neumann Universe)는 공집합이 아닌 어떤 부분집합이든지 최소원소가 있는(Well-founded) 집합들의 모임을 말한다. 통상적으로 VV라 표기하며, 정칙성 공리가 성립하는 집합론 체계 내에서는 VV가 모든 집합의 클래스가 된다. 이 공리가 성립하면 무한히 자기 자신을 포함하는 집합이나 x∈y∈xx \in y \in x와 같은 순환적인 멤버십 관계가 존재할 수 없게 된다.

목차

1. 정의
2. 폰 노이만 우주와 집합론의 모형

1. 정의 ✎ ⊖

다음과 같이 초한 귀납적으로 VαV_\alpha를 정의하자.
  • V0=∅V_0=\emptyset
  • Vα+1=P(Vα)V_{\alpha+1}=\mathcal{P}(V_\alpha)
  • λ\lambda가 극한서수이면 Vλ=⋃α<λVαV_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda} V_\alpha
그리고 V=⋃VαV=\bigcup V_\alpha로 정의한다. 여기서 VV는 집합이 될 수 없음에 유의하라.

2. 폰 노이만 우주와 집합론의 모형 ✎ ⊖

VωV_\omega는 ZFC에서 무한공리를 뺸 이론의 모형이다. 만약 κ\kappa가 도달 불가능한 기수라면, VκV_\kappa는 체르멜로-프렌켈 집합론의 모형이 되며 Vκ+1V_{\kappa+1}은 모스-켈리 집합론의 모형이 된다.

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