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소수 정리

최근 수정 시각 : 2025-01-11 16:22:35 | 조회수 : 77
➤ 소수 정리
외부:https://pbs.twimg.com/media/Fzp2w2pXsAMpbAv.jpg:large
Prime number theorem
\\lim_{x\\to \\infty}\\frac{\\pi(x)\\ln{x}}{x}=1

이 된다는 정리다. 여기서 \\pi(x)는 소수 계량 함수이다. 이 정리는 소수들의 분포를 잘 알려준다.

목차

1. 오차항의 표현
2. 동치인 표현들
2.1. 약간의 식 변형
2.2. 체비셰프 함수
2.3. 뫼비우스 뮤 함수
2.4. 메르텐스 함수
3. 참고 문헌

1. 오차항의 표현 ✎ ⊖

x가 무한대로 가면 다음이 성립한다.
  • \\pi(x)=\\frac{x}{\\ln{x}}+O\\left(\\frac{x}{(\\ln{x})^2}\\right)
하지만
  • \\left|\\pi(x)-\\frac{x}{\\ln{x}}\\right|\\gg \\frac{x}{(\\ln{x})^2}
이기도 해서 별로 좋지 못하다 할 수 있다. 하지만
  • \\Lambda(n):=\\begin{cases}\\ln{p} & \\text{if}\\;n=p^k \\text{ for some positive integer}\\;k \\\\ 0 & \\text{otherwise}\\end{cases}
라고 정의하고
  • \\psi(x):=\\sum_{n\\le x}\\Lambda(n)
이라고 한다면 임의의 c>0에 대해서
  • \\psi(x)=x+O\\left(xe^{-c\\sqrt{\\ln{x}}}\\right)
이다. 나아가 임의의 \\varepsilon>0에 대해서
  • \\psi(x)=x+O_{\\varepsilon}(x^{\\frac{1}{2}+\\epsilon})
이라는 것은 리만 가설과 동치가 된다.

2. 동치인 표현들 ✎ ⊖

2.1. 약간의 식 변형 ✎ ⊖

  • \\lim_{x \\to \\infty}\\frac{\\pi(x)\\log \\pi(x)}{x}=1
  • \\lim_{n \\to \\infty}\\frac{p_n}{n \\log n}=1

2.2. 체비셰프 함수 ✎ ⊖

  • \\lim_{x \\to \\infty} \\frac{\\vartheta(x)}{x}=1
  • \\lim_{x \\to \\infty} \\frac{\\psi(x)}{x}=1

2.3. 뫼비우스 뮤 함수 ✎ ⊖

  • \\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\mu(n)}{n}=0

2.4. 메르텐스 함수 ✎ ⊖

  • \\lim_{x \\to \\infty} \\frac{M(x)}{x}=0

3. 참고 문헌 ✎ ⊖

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.

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