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수학에서 놈(norm, 노름)은 벡터공간의 벡터에 거리나 크기 개념을 도입하기 위한 함수로, 주로 선형대수학에서 쓰인다.
1. 일반적인 정의 ✎ ⊖
V를 \\mathbb{C}의 부분체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수 ||\\cdot||:V\\to\\mathbb{R}이 모든 \\mathbf{x},\\mathbf{y}\\in V와 모든 c\\in F에 대해
(1) ||\\mathbf{x}|| \\ge 0
(1a) ||\\mathbf{x}||=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{x}=\\mathbf{0}
(2) ||c\\mathbf{x}||=|c|||\\mathbf{x}||
(3) ||\\mathbf{x}+\\mathbf{y}||\\le ||\\mathbf{x}|| +||\\mathbf{y}||
를 만족하면 ||\\cdot||를 놈이라 한다. (1), (2), (3)의 조건을 충족하는 함수는 세미놈(Seminorm)이라 한다.
(1) ||\\mathbf{x}|| \\ge 0
(1a) ||\\mathbf{x}||=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{x}=\\mathbf{0}
(2) ||c\\mathbf{x}||=|c|||\\mathbf{x}||
(3) ||\\mathbf{x}+\\mathbf{y}||\\le ||\\mathbf{x}|| +||\\mathbf{y}||
를 만족하면 ||\\cdot||를 놈이라 한다. (1), (2), (3)의 조건을 충족하는 함수는 세미놈(Seminorm)이라 한다.
2. \\mathbb{C}^n에서의 놈 ✎ ⊖
\\mathbb{C}^n의 원소 \\mathbf{x}=\\begin{bmatrix}x_1 & \\cdots & x_n\\end{bmatrix}^T에 대해,
- ℓ1 놈 \\| \\mathbf x\\|_1 = \\sum_{i=1}^n |x_i|
- ℓ2 놈(유클리드 놈) \\| \\mathbf x\\| =\\| \\mathbf x\\|_2 = \\sqrt{\\sum_{i=1}^n {x_i}^2}
- ℓp 놈(일반화) \\displaystyle \\| \\mathbf x\\|_p = \\sqrt[p]{\\sum_{i=1}^n {x_i}^p}
3. 참고문헌 ✎ ⊖
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
