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대칭군(Symmetric group)은 어떤 집합의 치환으로 구성한 군이다.
1. 정의 ✎ ⊖
집합 x의 대칭군은 x에서 x로 가는 전단사 사상의 집합에 군 구조를 준 것이다. 여기서 연산은 사상의 합성이다. 집합 x의 대칭군은 주로 s_x로 쓴다. X=\\{1,2,3,...,n\\}의 대칭군은 S_n으로도 쓸 수 있다.
2. 치환 ✎ ⊖
치환(Permutation)은 유한집합의 원소의 재배열을 말하며, 유한집합에서의 전단사 사상과 일대일 대응될 수 있다. 따라서 유한집합에 의해 만들어진 대칭군을 그 치환들의 집합으로 보기도 한다.
일반적으로 \\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4\\end{bmatrix}라고 쓰면 1을 2로, 2를 5로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 의미한다. (1 2 5 4)와 같이 쓰면 이 치환은 1을 2로, 2를 5로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 의미하며, 이 두 치환은 같다.
일반적으로 \\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4\\end{bmatrix}라고 쓰면 1을 2로, 2를 5로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 의미한다. (1 2 5 4)와 같이 쓰면 이 치환은 1을 2로, 2를 5로, 4를 1로, 5를 4로 보내는 치환을 의미하며, 이 두 치환은 같다.
2.1. 치환의 종류 ✎ ⊖
- 순환치환(cycle): 한 원소로부터 시작하여 그 치환을 여러 번 적용할 동안 치환되는 원소를 모두 거칠 수 있는 치환을 순환치환이라고 한다.
- 호환(transposition): 호환은 두 원소만을 바꾸는 치환을 의미한다.
- 짝치환(even permutation): 짝수개의 호환의 합성으로 표현할 수 있는 치환을 의미한다.
- 홀치환(odd permutation): 홀수개의 호환의 합성으로 표현할 수 있는 치환을 의미한다.
여기서 짝치환은 홀치환이 아니다.
3. 성질 ✎ ⊖
- n>2일 때, S_n은 일반적으로 아벨 군이 아니다.
- 짝치환만을 모은 교대군 A_n는 S_n의 정규부분군이다.
- S_n의 원소의 개수는 n!이다.
4. 대칭군과 동형인 군 ✎ ⊖
- 자명군은 S_1와 동형이다.
- \\mathbb{Z}/2\\mathbb{Z}는 S_2와 동형이다.
- D_3는 S_3와 동형이다.
