(+)분류 : 가져온 문서/오메가
집합론에서, 데데킨트 무한집합(Dedekind-infinite set)이란 자기 자신과 대등한 진부분집합을 갖는 집합을 말한다.
1. 정의와 성질 ✎ ⊖
집합 A가 데데킨트 무한이란 것은 A의 진부분집합 X가 있어 X에서 A로 가는 전단사가 존재한단 것이다. 그리고 다음 명제들은 ZF 위에서 동치이다.
ZF에서 모든 데데킨트 무한집합은 무한집합임을 보일 수 있고, X가 무한집합이면 \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(X))는 데데킨트 무한이다.
- A는 데데킨트 무한이다.
- A는 농도 \\aleph_0인 부분집합을 갖는다.
- 자연수 집합에서 A로 가는 단사함수가 존재한다.
ZF에서 모든 데데킨트 무한집합은 무한집합임을 보일 수 있고, X가 무한집합이면 \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(X))는 데데킨트 무한이다.
2. 선택공리와의 연관성 ✎ ⊖
가산 선택공리를 가정하면 모든 무한집합이 데데킨트 무한임을 보일 수 있다. 하지만 ZF가 무모순이라면, ZF + '데데킨트 무한이 아닌 무한집합이 존재한다' 역시 무모순한 이론이다. 따라서 ZF만으로는 모든 무한집합이 데데킨트 무한임을 보일 수 없다.
3. 참고문헌 ✎ ⊖
- Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
