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數列 / sequence
자연수 집합을 정의역으로 하는 함수(1)(2) \\mathbf{a}:\\mathbb N \\to \\mathbb S이다. 공역은 대체로 실수 또는 복소수의 집합이나, 함수의 집합이나 문자, 행렬의 집합이어도 상관없다. 각각의 함숫값을 항(term, member, element)이라고 하며, 정의역이 유한한 수열을 유한수열, 무한한 수열을 무한수열이라 한다.
수열 \\mathbf a는 집합과 비슷한 방법으로, 괄호 속에 항을 나열하여 표기한다. 수열 \\mathbf a의 i번째 항을 a_i:= \\mathbf a(i)라 하면 수열 \\mathbf a는
\\displaystyle (a_1, a_2, \\cdots, a_n),\\quad(a_n:n=1\\text{, }2\\text{, }\\cdots),\\quad(a_n)_{n=1}^\\infty,\\quad(a_n)_{n\\in\\mathbb N},\\quad(a_n)
등으로 나타낸다.(3) 이때 제 n-항을 일반항(general term)이라 한다.
1. 수열의 귀납적 정의 ✎ ⊖
수열은 일반항을 이용하여 정의할 수도 있지만, 점화식을 이용하여 귀납적으로 정의할 수도 있다. 다음은 점화식으로 정의한 수열의 일반항의 예이다.
- 등차수열 : \\displaystyle a_n=a_{n-1}+d \\quad \\longrightarrow \\quad a_n=a_0+nd
- 등비수열 : \\displaystyle a_n=ra_{n-1}\\quad \\longrightarrow \\quad a_n=r^na_0
- 계차수열 : \\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+f(n) \\quad \\longrightarrow \\quad a_n=a_0+\\sum_{k=0}^{n-1}f(k)
- 피보나치 수열 : \\displaystyle \\displaystyle F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \\ (n\\geq 2)\\quad \\longrightarrow \\quad F_n=\\frac{\\varphi^n-(-\\varphi)^{-n}}{\\sqrt 5},\\quad\\varphi=\\frac{1+\\sqrt 5}{2}\\approx 1.61803\\cdots
- \\displaystyle a_{n+1}=a_nf(n) \\quad \\longrightarrow \\quad a_n=a_0\\prod_{k=0}^{n-1}f(k)
2. 수열의 수렴과 발산 ✎ ⊖
일반항 a_n이 n\\to\\infty에서 극한값을 가지면 이 수열은 수렴한다고 하고, 극한값을 수열 (a_n)의 극한이라고 한다. 엡실론-델타 논법을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
\\lim_{n\\to\\infty}a_n=l \\Longleftrightarrow \\forall \\epsilon <0\\text{, }\\exists N\\in\\mathbb N \\text{ s.t. }n>N\\Rightarrow|a_n-l|<\\epsilon.
수렴하지 않으면 발산한다고 하고, 발산하는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
\\lim_{n\\to\\infty}a_n=l \\Longleftrightarrow \\forall \\epsilon <0\\text{, }\\exists N\\in\\mathbb N \\text{ s.t. }n>N\\Rightarrow|a_n-l|<\\epsilon.
수렴하지 않으면 발산한다고 하고, 발산하는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
- \\displaystyle \\lim_{n\\to\\infty} a_n = \\pm\\infty
- 수열 (a_n)이 진동한다. 즉 n이 커질수록 어떤 값에 가까워지면서 \\pm\\infty 중 어느 하나로만 가까워지지는 않는다.
