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수학에서, 오일러의 공식(Euler's formula)은 다음 공식을 가리킨다.
e^{i\\theta}=\\cos\\theta+i\\sin\\theta
이는 간단히 \\theta에 대한 \\mathrm{cis}(\\theta)로 나타내기도 한다. 오일러의 공식은 지수함수와 삼각함수를 연결하는 중요한 공식이며, 특히 위 공식에서 \\theta=\\pi를 대입하면 오일러 등식 e^{i\\pi}=-1을 얻는다.
1. 식의 유도 ✎ ⊖
e^x, \\sin x, \\cos x를 매클로린 급수로 전개하면
- e^x=1+x+\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^3}{3!}+\\cdot\\cdot\\cdot
- \\sin x=1-\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^4}{4!}-\\cdot\\cdot\\cdot
- \\cos x=x-\\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}-\\cdot\\cdot\\cdot
- -i \\sin ix = x + \\frac{x^3}{3!}+\\frac{x^5}{5!}+\\cdot\\cdot\\cdot
- \\cos ix=1+\\frac{x^2}{2!}+\\frac{x^4}{4!}+\\cdot\\cdot\\cdot
- \\therefore\\cos ix - i \\sin ix = e^x
- e^{ix}=\\cos x + i\\sin x
- \\therefore e^{i\\theta}=\\cos \\theta + i\\sin \\theta
