코시-리만 방정식

Cauchy-Riemann equations

복소수체에서 정의된 미분가능한 함수가 항상 만족하는 연립편미분방정식이다.

목차

1. 진술
1.1. 유도 과정
2. 참고 문헌
3. 영상

1. 진술 _{✎ ⊖}

z\\in\\mathbb{C}와 x,y\\in\\mathbb{R}에 대해, z=x+iy로 정의하자. 복소수체에 포함된 열린집합 G에서 정의된 미분가능한 함수 f(z)와 u(x,y),v(x,y)\\in\\mathbb{R}에 대해 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)로 정의하면 u,v는 다음 식

\\frac{\\partial u}{\\partial x}=\\frac{\\partial v}{\\partial y}, \\frac{\\partial u}{\\partial y}=-\\frac{\\partial v}{\\partial x}

을 만족한다. 이 식을 코시-리만 방정식이라 한다. 따라서 z_0에서 미분가능한 함수는 z_0에서 코시-리만 방정식을 만족한다.

1.1. 유도 과정 _{✎ ⊖}

함수 f가 점 z_0에서 미분가능하다고 하자. 그러면

f'(z_0)=\\lim_{\\Delta z\\to z_0}\\frac{f(z_0+\\Delta z)-f(z_0)}{\\Delta z}

이다. x_0,y_0,\\Delta x, \\Delta y\\in\\mathbb{R}에 대해 z_0=x_0+iy_0, \\Delta z=\\Delta x+i\\Delta y으로 정의하자. \\Delta y=0으로 둔다면,

f'(z_0)=\\frac{\\partial u}{\\partial x}(x_0,y_0)+i\\frac{\\partial v}{\\partial x}(x_0,y_0)

을 얻으며, \\Delta x=0으로 두면

f'(z_0)=-i\\frac{\\partial u}{\\partial y}(x_0,y_0)+\\frac{\\partial v}{\\partial y}(x_0,y_0)

을 얻는다. 실수부와 허수부를 비교하여 코시-리만 방정식을 얻는다.

2. 참고 문헌 _{✎ ⊖}

Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746

코시-리만 방정식

1. 진술 ✎ ⊖

1.1. 유도 과정 ✎ ⊖

2. 참고 문헌 ✎ ⊖

3. 영상 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

1.1. 유도 과정 _{✎ ⊖}

2. 참고 문헌 _{✎ ⊖}

3. 영상 _{✎ ⊖}