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Cauchy–Schwarz inequality
오귀스탱 루이 코시가 만들고 카를 헤르만 아만두스 슈바르츠가 덧붙인 중요한 절대부등식이다. 이 부등식은 선형대수학에서는 벡터를 다룰 때, 에서는 무한 급수에서, 확률론에서는 분산과 공분산을 다룰 때와 같이 여러 상황에서 사용된다. C-S로 줄여 쓰는 경우가 종종 있다.
이 부등식은 \\mathbf{x} 와 \\mathbf{y} 가 실수나 복소수 내적 공간의 원소일 때 다음이 성립함을 나타낸다.
{|\\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle|}^{2} \\leq \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{x} \\rangle \\cdot \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle
등호가 성립하는 것은 \\mathbf{x} 와 \\mathbf{y} 가 일차 종속인 경우와 동치이다. 또한, \\vec{x} 와 \\vec{y}가 n 차원 (유클리드) 공간 벡터인 경우, \\vec{x} = \\displaystyle \\sum_{i = 1}^{n} {x}^{i} {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i} , \\vec{y} = \\displaystyle \\sum_{i = 1}^{n} {y}^{i} {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i} 라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
{\\left ( \\displaystyle \\sum_{i , j = 1}^{n} {\\delta}_{i j} {x}^{i} {y}^{j} \\right )}^{2} \\leq \\left ( \\displaystyle \\sum_{i , j = 1}^{n} {\\delta}_{i j} {x}^{i} {x}^{j} \\right ) \\left ( \\displaystyle \\sum_{i , j = 1}^{n} {\\delta}_{i j} {y}^{i} {y}^{j} \\right )
위 식에서 {\\delta}_{i j} 는 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.
n = 2 인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.
{(a c + b d)}^{2} \\leq ({a}^{2} + {b}^{2})({c}^{2} + {d}^{2})
삼각 부등식과 베셀 부등식은 보통 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도될 수 있다.
1. 증명 ✎ ⊖
\\mathbf{y} = \\mathbf{0} 일 경우 부등식이 성립한다는 것이 자명하므로, \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle \\neq 0이 아니라고 가정할 수 있다. \\lambda \\in \\Bbb{C} 라 하면,
\\lambda = \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle / \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle 로 하여 정리하면,
양변에 \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle 을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.
\\begin{aligned} 0 \\leq {\\left | \\mathbf{x} - \\lambda \\mathbf{y} \\right |}^{2} &= \\langle \\mathbf{x} - \\lambda \\mathbf{y}, \\mathbf{x} - \\lambda \\mathbf{y} \\rangle \\\\ &= \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{x} \\rangle - \\lambda \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle - \\lambda \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{x} \\rangle + {|\\lambda|}^{2} \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle \\end{aligned}
\\lambda = \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle / \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle 로 하여 정리하면,
0 \\leq \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{x} \\rangle - {|\\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle|}^{2} / \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle
양변에 \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle 을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.
{|\\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle|}^{2} \\leq \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{x} \\rangle \\cdot \\langle \\mathbf{y}, \\mathbf{y} \\rangle
2. 예시 ✎ ⊖
- 코시-슈바르츠 부등식을 이용하면 a , b \\in \\Bbb{R} 에 대하여 {a}^{2} + {b}^{2} = 61 일 때 3 a + 4 b 의 최댓값을 구할 수 있다.
2.1. L2 공간 ✎ ⊖
제곱적분 가능한 복소함수의 내적 공간에서 다음 부등식이 성립한다.
디랙 표기법을 쓰면 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.
횔더 부등식은 이것을 일반화한 것이다.
{\\left | \\displaystyle \\int f(x) \\overline{g}(x) dx \\right |}^{2} \\leq \\displaystyle \\int {\\left | f(x) \\right |}^{2} dx \\cdot \\displaystyle \\int {\\left | g(x) \\right |}^{2} dx
디랙 표기법을 쓰면 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.
{\\left \\langle g | f \\right \\rangle}^{2} \\leq \\left \\langle f | f \\right \\rangle \\cdot \\left \\langle g | g \\right \\rangle
횔더 부등식은 이것을 일반화한 것이다.
