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폐집합

최근 수정 시각 : 2023-06-04 23:22:58 | 조회수 : 12
실투갤폐집합


폐집합(Closed set), 혹은 닫힌 집합은 직관적으로 그 집합 내의 점으로 '근사'시킬 수 있는 모든 점을 포함하는 집합, 혹은 그 집합의 경계를 포함하고 있는 집합을 가리킨다.

목차

1. 정의
2. 성질
3. 영상

1. 정의

위상수학에서 폐집합은 다음과 같이 정의되며, 이는 모두 동치이다.
  • A가 폐집합이라는 것은 그 여집합이 개집합인 것이다.
  • A가 폐집합이라는 것은 A가 그 폐포 \\bar A와 같은 것이다.
  • A가 폐집합이라는 것은 A가 그 집적점들의 집합을 포함하는 것이다.

2. 성질

위상이 주어진 위상공간 X에 대해 다음이 성립한다.
  • \\emptyset, X는 닫혀있다.
  • U,V가 닫혀있으면 U\\cup V는 닫혀있다. 즉, 유한한 닫힌 집합의 모임의 합집합은 닫혀있다.
  • 임의의 첨수 \\alpha\\in I에 대해 U_\\alpha가 닫혀있으면 \\bigcap_{\\alpha\\in I} U_\\alpha는 닫혀있다.
이 세 성질을 만족하는 집합을 닫힌 집합으로 정의하고, 그 여집합을 열린 집합으로, 열린 집합의 모임을 위상으로 정의할 수도 있지만, 특별한 이점이 없기 때문에 일반적으로는 열린 집합을 이용하여 위상을 정의한다.

3. 영상