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집합론에서, 어떤 기수 \\kappa가 도달 불가능한 기수(Inaccessible cardinal)라는 것은 기존의 집합 연산만으로 주어진 기수에 도달할 수 없는 경우를 말한다. 도달 불가능한 기수는 약하게 도달 불가능한 기수와 강하게 도달 불가능한 기수가 있는데, 일반적으로 도달 불가능한 기수라 하면 강하게 도달 불가능한 기수를 가리킨다.
1. 정의 ✎ ⊖
어떤 기수 \\kappa가 약하게 도달 불가능한 기수란 것은 \\kappa가 정칙 극한기수인 것이다. 어떤 기수 \\kappa가 강하게 도달 불가능하단 것은 \\kappa가 극한기수이면서 기수 \\lambda에 대해
인 것을 가리킨다. 즉, 강하게 도달 불가능한 기수는 그보다 작은 기수들의 유한합, 유한곱, 지수 연산으로는 도달할 수 없는 크기의 기수를 가리킨다.
\\lambda<\\kappa\\implies 2^\\lambda <\\kappa
인 것을 가리킨다. 즉, 강하게 도달 불가능한 기수는 그보다 작은 기수들의 유한합, 유한곱, 지수 연산으로는 도달할 수 없는 크기의 기수를 가리킨다.
2. 존재성 ✎ ⊖
ZFC 내에서 \\kappa가 도달 불가능한 기수일 때 V_\\kappa는 ZFC의 모형임이 증명 가능하다. 따라서 도달 불가능한 기수의 존재성이 ZFC 내에서 증명된다면 ZFC의 일관성이 ZFC만으로 증명됨을 의미한다. 이는 괴델의 불완전성 정리에 위배되고, 따라서 도달 불가능한 기수의 존재성은 ZFC 내에서 보여질 수 없다.
