4차방정식 ➤ 사차방정식
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Quartic equation
다항 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
여기서 a\\neq 0이다.
1. 근의 공식 ✎ ⊖
일반적인 복소계수 4차방정식 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\\ (a \\neq 0)을 생각하자.
적당한 t \\in \\Bbb C에 대하여 \\displaystyle z=x-\\frac{b}{4a}로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 z^4+pz^2+qz+r=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.
w \\in \\Bbb C에 대하여 (z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r가 되는데, 우변의 판별식이 0인 w를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다.
이를 이용하면 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\\ (a \\neq 0)의 해가
x = {\\frac{-a}{4}}
\\pm\\frac{1}{2}{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}-\\frac{2b}{3}+\\frac{2^{\\frac{1}{3}}\\left(b^2-3ac+12d\\right)}{3{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}}+\\left(\\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}}}{54}\\right)^\\frac{1}{3}}}
\\pm\\frac{1}{2}{\\sqrt{\\frac{a^2}{2}-\\frac{4b}{3}-\\frac{2^{\\frac{1}{3}}\\left(b^2-3ac+12d\\right)}{3{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}}-\\left(\\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}}}{54}\\right)^\\frac{1}{3}-\\frac{-a^3+4ab-8c}{4{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}-\\frac{2b}{3}+\\frac{2^{\\frac{1}{3}}\\left(b^2-3ac+12d\\right)}{3{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}}+\\left(\\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}}}{54}\\right)^\\frac{1}{3}}}}}}
임을 알 수 있다.
적당한 t \\in \\Bbb C에 대하여 \\displaystyle z=x-\\frac{b}{4a}로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 z^4+pz^2+qz+r=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.
w \\in \\Bbb C에 대하여 (z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r가 되는데, 우변의 판별식이 0인 w를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다.
이를 이용하면 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\\ (a \\neq 0)의 해가
x = {\\frac{-a}{4}}
\\pm\\frac{1}{2}{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}-\\frac{2b}{3}+\\frac{2^{\\frac{1}{3}}\\left(b^2-3ac+12d\\right)}{3{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}}+\\left(\\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}}}{54}\\right)^\\frac{1}{3}}}
\\pm\\frac{1}{2}{\\sqrt{\\frac{a^2}{2}-\\frac{4b}{3}-\\frac{2^{\\frac{1}{3}}\\left(b^2-3ac+12d\\right)}{3{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}}-\\left(\\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}}}{54}\\right)^\\frac{1}{3}-\\frac{-a^3+4ab-8c}{4{\\sqrt{\\frac{a^2}{4}-\\frac{2b}{3}+\\frac{2^{\\frac{1}{3}}\\left(b^2-3ac+12d\\right)}{3{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}\\right)}^{\\frac{1}{3}}}+\\left(\\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\\sqrt{-4{\\left(b^2-3ac+12d\\right)}^3+{\\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\\right)}^2}}}}{54}\\right)^\\frac{1}{3}}}}}}
임을 알 수 있다.
2. 판별식 ✎ ⊖
사차 방정식 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e=0 (a \\neq 0)의 판별식은
이다.
D=-27b^4e^2+16c^4ae-27d^4a^2+256a^3e^3+18b^3cde-4b^3d^3-4c^3b^2a-4c^3b^2e+18d^3abc-128a^2c^2e^2+144a^2d^2ce-192a^2e^2bd+b^2c^2d^2-6b^2d^2ae+144b^2e^2ac-80c^2abde
이다.
