절댓값

수학에서 절댓값(絶對─, Absolute value)이란 어떤 수의 크기를 나타내는 값을 말한다

목차1. 실수에서의 절댓값 1.1. 성질1.2. 절댓값을 포함한 부등식의 해1.3. 그래프1.3.1. y=f(|x|)인 경우1.3.2. y=|f(x)|인 경우1.3.3. |y|=f(x)인 경우1.3.4. |y|=f(|x|)인 경우2. 복소수에서의 절댓값 3. 일반화4. 영상

1. 실수에서의 절댓값 _{✎ ⊖}

임의의 실수 a에 대해서 a의 절댓값 |a|는 실수의 부호가 제거된 것과 같다. 따라서

$|a| := \begin{cases} a, & \text{if } a \ge 0 \\ -a, & \text{if } a < 0. \end{cases}$

이고 항상 음이 아닌 실수이다. 그러므로

|x|=a

또는

|-x|=a \ (a>0)

의 해는

\pm{a}

이고,

|x|=0

의 해는

0

뿐이다.

1.1. 성질 _{✎ ⊖}

$|a+b|≤|a|+|b|$
$|a-b|≥|a|-|b|$
$|ab|=|a||b|$

1.2. 절댓값을 포함한 부등식의 해 _{✎ ⊖}

$|a|≤b$ 이면 $-b≤a≤b$
$|a|≥b$ 이면 $a≤-b$ 또는 $b≤a$

단,

b≥0

인 상수이다.

1.3. 그래프 _{✎ ⊖}

절댓값이 포함된 식의 그래프를 그릴 때에는 다음 네 가지로 분류하여 그리는 것이 보편적이다.

1.3.1. $y=f(|x|)$ 인 경우 _{✎ ⊖}

함수식에

|x|≥0

가 대입되므로

x>0

부분과 y축 대칭으로

x<0

부분이 그려진다. 즉

f(|a|)=f(|-a|)

여서 y축에 대칭이므로 이는 우함수가 된다.

1.3.2. $y=|f(x)|$ 인 경우 _{✎ ⊖}

y가 음수가 될 수 없으므로 y=f(x)에서 y가 음수가 되는 부분은 절댓값의 크기만큼 양수로 올려 그려진다. 이는 함수라고 말할 수 있다.

함수식 f(x)가 최고차항의 계수가 양수인 단항식인 경우

y=f(|x|)

와

y=|f(x)|

는 같은 함수가 된다.

1.3.3. $|y|=f(x)$ 인 경우 _{✎ ⊖}

y가 음수가 되어도 대응되는 x는 y가 양수일 때와 동일한 값을 가지므로

y>0

부분과 x축 대칭으로 그려진다.

|x|=a (a>0)

의 해가

\pm{a}

로 2개가 나오는 것과 같은 원리이다. 이는 정의역의 한 원소가 치역의 원소 여러개와 대응되므로 함수가 아니다.

1.3.4. $|y|=f(|x|)$ 인 경우 _{✎ ⊖}

y또는 x에 음수를 대입해도 y와 x가 모두 양수일 때와 같은 식이 된다. 즉 제 1사분면의 그래프를 x축, y축, 원점대칭을 하여 그려진다. 이는 원점에 대칭이나 함수가 아니므로 기함수도 아니다.

2. 복소수에서의 절댓값 _{✎ ⊖}

실수에서의 절댓값은 수직선의 원점인 0에서 실수까지의 거리를 나타낸다. 마찬가지로 복소수에서 절댓값은 복소평면에서의 원점인

0+0i=0

에서 복소수까지의 직선거리로 쓸 수 있다. 그러므로 임의의

\alpha=a+bi(a, b \in \mathbb{R})

에 대하여

$|\alpha|:=\sqrt{a^2+b^2}$

이다. 복소수의 절댓값 또한

$|a+b|\le|a|+|b|$
$|ab|=|a||b|$

를 만족시키며 특히

|z|^2=z\overline{z}

가 성립한다. 이 때

\overline{z}

는

z

의 복소켤레이다.

3. 일반화 _{✎ ⊖}

절댓값은 p진수 혹은 사원수 등의 몇몇 수 체계 위에서도 존재하며, 노름 벡터 공간의 노름으로 일반화된다.

4. 영상 _{✎ ⊖}

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.

1. 실수에서의 절댓값 ✎ ⊖

1.1. 성질 ✎ ⊖

1.2. 절댓값을 포함한 부등식의 해 ✎ ⊖

1.3. 그래프 ✎ ⊖

1.3.1. y=f(∣x∣)y=f(|x|)y=f(∣x∣)인 경우 ✎ ⊖

1.3.2. y=∣f(x)∣y=|f(x)|y=∣f(x)∣인 경우 ✎ ⊖

1.3.3. ∣y∣=f(x)|y|=f(x)∣y∣=f(x)인 경우 ✎ ⊖

1.3.4. ∣y∣=f(∣x∣)|y|=f(|x|)∣y∣=f(∣x∣)인 경우 ✎ ⊖

2. 복소수에서의 절댓값 ✎ ⊖

3. 일반화 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖