절댓값

수학에서 절댓값(絶對─, Absolute value)이란 어떤 수의 크기를 나타내는 값을 말한다

목차

1. 실수에서의 절댓값
1.1. 성질
1.2. 절댓값을 포함한 부등식의 해
1.3. 그래프
1.3.1. y=f(|x|)인 경우
1.3.2. y=|f(x)|인 경우
1.3.3. |y|=f(x)인 경우
1.3.4. |y|=f(|x|)인 경우
2. 복소수에서의 절댓값
3. 일반화
4. 영상

1. 실수에서의 절댓값 _{✎ ⊖}

임의의 실수 a에 대해서 a의 절댓값 |a|는 실수의 부호가 제거된 것과 같다. 따라서

|a| := \\begin{cases} a, & \\text{if } a \\ge 0 \\\\ -a, & \\text{if } a < 0. \\end{cases}

이고 항상 음이 아닌 실수이다. 그러므로 |x|=a 또는 |-x|=a \\ (a>0)의 해는 \\pm{a}이고, |x|=0의 해는 0뿐이다.

1.1. 성질 _{✎ ⊖}

|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≥|a|-|b|
|ab|=|a||b|

1.2. 절댓값을 포함한 부등식의 해 _{✎ ⊖}

|a|≤b이면 -b≤a≤b
|a|≥b이면 a≤-b 또는 b≤a

단, b≥0인 상수이다.

1.3. 그래프 _{✎ ⊖}

절댓값이 포함된 식의 그래프를 그릴 때에는 다음 네 가지로 분류하여 그리는 것이 보편적이다.

1.3.1. y=f(|x|)인 경우 _{✎ ⊖}

함수식에 |x|≥0 가 대입되므로 x>0부분과 y축 대칭으로 x<0부분이 그려진다. 즉 f(|a|)=f(|-a|)여서 y축에 대칭이므로 이는 우함수가 된다.

1.3.2. y=|f(x)|인 경우 _{✎ ⊖}

y가 음수가 될 수 없으므로 y=f(x)에서 y가 음수가 되는 부분은 절댓값의 크기만큼 양수로 올려 그려진다. 이는 함수라고 말할 수 있다.

함수식 f(x)가 최고차항의 계수가 양수인 단항식인 경우 y=f(|x|)와 y=|f(x)|는 같은 함수가 된다.

1.3.3. |y|=f(x)인 경우 _{✎ ⊖}

y가 음수가 되어도 대응되는 x는 y가 양수일 때와 동일한 값을 가지므로 y>0부분과 x축 대칭으로 그려진다. |x|=a (a>0)의 해가 \\pm{a}로 2개가 나오는 것과 같은 원리이다. 이는 정의역의 한 원소가 치역의 원소 여러개와 대응되므로 함수가 아니다.

1.3.4. |y|=f(|x|)인 경우 _{✎ ⊖}

y또는 x에 음수를 대입해도 y와 x가 모두 양수일 때와 같은 식이 된다. 즉 제 1사분면의 그래프를 x축, y축, 원점대칭을 하여 그려진다. 이는 원점에 대칭이나 함수가 아니므로 기함수도 아니다.

2. 복소수에서의 절댓값 _{✎ ⊖}

실수에서의 절댓값은 수직선의 원점인 0에서 실수까지의 거리를 나타낸다. 마찬가지로 복소수에서 절댓값은 복소평면에서의 원점인 0+0i=0에서 복소수까지의 직선거리로 쓸 수 있다. 그러므로 임의의 \\alpha=a+bi(a, b \\in \\mathbb{R})에 대하여

|\\alpha|:=\\sqrt{a^2+b^2}

이다. 복소수의 절댓값 또한

|a+b|\\le|a|+|b|
|ab|=|a||b|

를 만족시키며 특히 |z|^2=z\\overline{z}가 성립한다. 이 때 \\overline{z}는 z의 복소켤레이다.

3. 일반화 _{✎ ⊖}

절댓값은 p진수 혹은 사원수 등의 몇몇 수 체계 위에서도 존재하며, 노름 벡터 공간의 노름으로 일반화된다.

4. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 실수에서의 절댓값 ✎ ⊖

1.1. 성질 ✎ ⊖

1.2. 절댓값을 포함한 부등식의 해 ✎ ⊖

1.3. 그래프 ✎ ⊖

1.3.1. y=f(|x|)인 경우 ✎ ⊖

1.3.2. y=|f(x)|인 경우 ✎ ⊖

1.3.3. |y|=f(x)인 경우 ✎ ⊖

1.3.4. |y|=f(|x|)인 경우 ✎ ⊖

2. 복소수에서의 절댓값 ✎ ⊖

3. 일반화 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖