베주 항등식

베주의 항등식 ➤ 베주 항등식

Bézout's identity

두 정수와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.

목차

1. 진술
1.1. 증명
1.2. 명제의 역
2. 일반화
2.1. 셋 이상의 정수
2.2. 다항식환
2.3. 추상화
3. 참고 문헌
4. 영상

1. 진술 _{✎ ⊖}

적어도 하나가 영이 아닌 a,b\\in\\mathbb{Z}에 대해 \\gcd(a,b)=d이면 d=au+bv를 만족하는 u,v\\in \\mathbb{Z}가 존재한다. 또한 d는 au+bv 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.

1.1. 증명 _{✎ ⊖}

집합 S를 다음과 같이 정의하자.

S=\\{ax+by: x,y\\in \\mathbb{Z},ax+by\\ge 0\\}

그러면 S\\subseteq \\mathbb{N}이고 a\\ne 0 또는 b\\ne 0이므로 a^2+b^2>0이다. 따라서 a^2+b^2\\in S이므로, S는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 S의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 t라 하자. 그러면 t=au+bv를 만족하는 u,v\\in \\mathbb{Z}가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해

a=tq+r

인 q,r\\in \\mathbb{Z}이 존재하고 이때 0\\le r <t이다. 따라서

r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq)

이다. 따라서 r\\in S인데, S의 최소원소가 t이므로 r<t이다. 그런데 r이 양수라면 t가 S의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 r=0이어야 한다. 따라서 a\\mid t이다. 마찬가지 방법으로 b\\mid t임을 보일 수 있다. c\\in \\mathbb{Z}가 c\\mid a이고 c \\mid b라고 하자. 그러면 a=ck이고 b=cl인 k,l\\in\\mathbb{Z}가 존재한다. 따라서

t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)

이므로 c\\mid t이다. t>0이므로, c\\le t이다. 따라서 t는 a와 b의 최대공약수이므로 t=d이다.

1.2. 명제의 역 _{✎ ⊖}

d=1이라면 \\gcd(a,b)=1과 1=au+bv를 만족하는 u,v\\in\\mathbb{Z}가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 a,b에 대해 1=au+bv를 만족하는 u,v\\in \\mathbb{Z}가 존재한다고 가정하자. 그러면 1\\in S이다. \\gcd(a,b)=d라고 하면 d는 S의 양의 최소원소이므로 d\\le 1이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 d\\ge 1이므로, d=1이다.

d\\ge 2라면 정리의 역은 성립하지 않는다.

2. 일반화 _{✎ ⊖}

2.1. 셋 이상의 정수 _{✎ ⊖}

a_1,a_2,\\cdots,a_n이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 \\gcd(a_1,a_2,\\cdots,a_n)=d라고 하자. 그러면 d=a_1u_1+a_2u_2+\\cdots+a_nu_n인 u_1,u_2,\\cdots,u_n\\in \\mathbb{Z}이 존재한다.

2.2. 다항식환 _{✎ ⊖}

체 F와 a(x),b(x)\\in F[x]에 대해 a(x)와 b(x) 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 a(x)와 b(x)의 최대공약수 d(x)\\in F[x]가 존재하고 d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)인 u(x),v(x)\\in F[x]가 존재한다.

2.3. 추상화 _{✎ ⊖}

주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.

3. 참고 문헌 _{✎ ⊖}

김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336

4. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 진술 ✎ ⊖

1.1. 증명 ✎ ⊖

1.2. 명제의 역 ✎ ⊖

2. 일반화 ✎ ⊖

2.1. 셋 이상의 정수 ✎ ⊖

2.2. 다항식환 ✎ ⊖

2.3. 추상화 ✎ ⊖

3. 참고 문헌 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖