샌드위치 정리

압착 정리 ➤ 샌드위치 정리

sandwich theorem

함수의 극한과 관련된 정리이다. 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)라고도 부른다. 상계와 하계를 알고 그 극한값이 같다면 극한값을 구하기 어려운 함수의 극한값을 구하는 데에 사용할 수 있다.

목차

1. 진술
2. 증명
3. 예시
4. 영상

1. 진술 _{✎ ⊖}

함수

f, g, h

와

L

에 가까운

x

에 대하여

\lim\limits_{x\to a}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a}g(x)

이고

f(x)\leq h(x)\leq g(x)

이면

\lim\limits_{x\to a}h(x)=L

이다.

이 때, 함수

f

를

h

의 하계,

g

를

h

의 상계라 한다.

2. 증명 _{✎ ⊖}

\lim\limits_{x\to a}f(x)=L

이므로 엡실론-델타 논법에 의해,

$\forall\varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon$

이다. 마찬가지로,

\lim\limits_{x\to a}g(x)=L

이므로

$\forall\varepsilon>0, \exists \delta_2>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |g(x)-L|<\varepsilon$

이다.

\delta = \min(\delta_1, \delta_2)

이라 했을 때

0<|x-a|<\delta

이면

$L-\varepsilon < f(x) <L+\varepsilon$

이고

$L-\varepsilon < g(x) <L+\varepsilon$

이여서

$L-\varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < L +\varepsilon$

임을 알 수 있다. 따라서

0<|x-a|<\delta

이면

$-\varepsilon < h(x) - L < \varepsilon$

이다. 따라서 극한의 정의에 의해

\lim\limits_{x\to a}h(x)=L

이다.

3. 예시 _{✎ ⊖}

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$ 이고 $\lim_{x \to 0} \cos x = \lim_{x \to 0} 1 = 1$ 이므로 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ 이다.

4. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 진술 ✎ ⊖

2. 증명 ✎ ⊖

3. 예시 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

2. 증명 _{✎ ⊖}

3. 예시 _{✎ ⊖}

4. 영상 _{✎ ⊖}