벡터 공간

최근 수정 시각 : 2023-04-18 00:52:22 | 조회수 : 524
벡터공간벡터 공간


벡터 공간(Vector Space)은 물리학에서의 벡터의 집합을 일반화한 것으로, 수학 전반에서 중요하게 다뤄지는 구조이다.

목차

1. 정의
2. 부분공간
2.1. 선형결합과 선형독립
3. 생성
4. 기저
5. 선형사상
6. 영상

1. 정의

FF와 집합 VV에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.
  • 벡터 덧셈: x,yV\mathbf x, \mathbf y \in V에 대해 x+yV\mathbf x+\mathbf y \in V
  • 스칼라 곱: xV,aF\mathbf x \in V, a\in F에 대해 axVa\mathbf x \in V

이 때 x,y,zV\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in Va,bFa, b \in F에 대하여 아래의 성질을 만족하면 VV를 체 FF 위의 벡터 공간이라고 한다.

덧셈에 대한 결합법칙(x+y)+z=x+(y+z)(\mathbf x+\mathbf y)+\mathbf z=\mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z)
덧셈에 대한 교환법칙x+y=y+x \mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x
덧셈에 대한 항등원xV,  0V  s.t.  x+0=0+x=x\forall \mathbf x \in V,\; \exists \mathbf 0\in V\; s.t. \; \mathbf x+\mathbf 0=\mathbf 0+\mathbf x=\mathbf x
덧셈에 대한 역원xV,  (x)V  s.t.  x+(x)=(x)+x=0\forall \mathbf x \in V,\; \exists (\mathbf {-x})\in V\; s.t. \; \mathbf x+(\mathbf {-x})=(\mathbf {-x})+\mathbf x=\mathbf 0
스칼라 곱에 대한 결합법칙(ab)x=a(bx)(ab)\mathbf x=a(b\mathbf x)
스칼라 곱에 대한 항등원1x=x1\cdot \mathbf x=\mathbf x
벡터 덧셈에 대한 분배법칙a(x+y)=ax+aya(\mathbf x+\mathbf y)=a\mathbf x+a\mathbf y
스칼라 덧셈에 대한 분배법칙(a+b)x=ax+bx(a+b)\mathbf x=a\mathbf x+b\mathbf x


위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, FF의 원소들을 '스칼라', VV의 원소들을 '벡터'라고 부른다.

2. 부분공간

벡터공간 VV의 부분집합 WW에 대해

1. OWO\in W
2. x,yV,x+yW\forall \mathbf x, \mathbf y \in V, \mathbf x+\mathbf y \in W
3. aF,xV,axW\forall a\in F, \forall \mathbf x \in V, a\mathbf x\in W

의 세 조건을 만족할 때 WWVV의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.

2.1. 선형결합과 선형독립

벡터공간 VV의 원소들 x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n에 대해 a1x1+a2x2++anxn(a1,a2,,anF)a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n(a_1, a_2 ,\cdots ,a_n\in F)꼴의 합을 x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 선형결합혹은 일차결합(linear combination)이라고 한다.

a1x1+a2x2++anxn=0a1=a2==an=0a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n=0\Leftrightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0일 때, x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n가 일차독립이 아니면 x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.

3. 생성

벡터공간 VV의 원소들 x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 선형결합으로 생성되는 VV의 부분공간을 {x1,x2,,xn}\{\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n\}의 생성(span)이라한다. VV의 부분공간 WW의 임의의 원소가 x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 선형결합으로 나타내어지고, x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n의 임의의 선형결합이 WW에 속할 때, x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_nWW를 생성한다고 한다.

4. 기저

벡터공간 VV의 원소들 x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n이 선형독립이고 VV를 생성할 때, x1,x2,,xn\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_nVV의 기저(basis)라고 한다. 임의의 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. VV의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고, dimV\dim V로 나타낸다.

5. 선형사상

FF에서 정의된 두 벡터공간 VV, WW에 대해 VV에서 WW로의 사상 중 합과 곱을 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping)또는 선형변환(linear transformation)이라 한다. VV에서 WW로의 모든 선형 사상의 집합 역시 벡터공간을 이루며 이를 L(V,W)\mathcal L (V, W)로 표시한다. 선형변환은 VV의 기저들의 변환값에 의해 완전히 결정된다.

6. 영상



이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.
본 문서의 원본은 링크에서 확인할 수 있습니다.