벡터 공간(Vector Space)은 물리학에서의 벡터의 집합을 일반화한 것으로, 수학 전반에서 중요하게 다뤄지는 구조이다.
체 F F F 와 집합
V V V 에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.
벡터 덧셈: x , y ∈ V \mathbf x, \mathbf y \in V x , y ∈ V 에 대해 x + y ∈ V \mathbf x+\mathbf y \in V x + y ∈ V 스칼라 곱: x ∈ V , a ∈ F \mathbf x \in V, a\in F x ∈ V , a ∈ F 에 대해 a x ∈ V a\mathbf x \in V a x ∈ V 이 때
x , y , z ∈ V \mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in V x , y , z ∈ V 와
a , b ∈ F a, b \in F a , b ∈ F 에 대하여 아래의 성질을 만족하면
V V V 를 체
F F F 위의 벡터 공간이라고 한다.
덧셈에 대한 결합법칙 ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (\mathbf x+\mathbf y)+\mathbf z=\mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 덧셈에 대한 교환법칙 x + y = y + x \mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x x + y = y + x 덧셈에 대한 항등원 ∀ x ∈ V , ∃ 0 ∈ V s . t . x + 0 = 0 + x = x \forall \mathbf x \in V,\; \exists \mathbf 0\in V\; s.t. \; \mathbf x+\mathbf 0=\mathbf 0+\mathbf x=\mathbf x ∀ x ∈ V , ∃ 0 ∈ V s . t . x + 0 = 0 + x = x 덧셈에 대한 역원 ∀ x ∈ V , ∃ ( − x ) ∈ V s . t . x + ( − x ) = ( − x ) + x = 0 \forall \mathbf x \in V,\; \exists (\mathbf {-x})\in V\; s.t. \; \mathbf x+(\mathbf {-x})=(\mathbf {-x})+\mathbf x=\mathbf 0 ∀ x ∈ V , ∃ ( − x ) ∈ V s . t . x + ( − x ) = ( − x ) + x = 0 스칼라 곱에 대한 결합법칙 ( a b ) x = a ( b x ) (ab)\mathbf x=a(b\mathbf x) ( ab ) x = a ( b x ) 스칼라 곱에 대한 항등원 1 ⋅ x = x 1\cdot \mathbf x=\mathbf x 1 ⋅ x = x 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 a ( x + y ) = a x + a y a(\mathbf x+\mathbf y)=a\mathbf x+a\mathbf y a ( x + y ) = a x + a y 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙 ( a + b ) x = a x + b x (a+b)\mathbf x=a\mathbf x+b\mathbf x ( a + b ) x = a x + b x
위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고,
F F F 의 원소들을 '스칼라',
V V V 의 원소들을 '벡터'라고 부른다.
벡터공간
V V V 의 부분집합
W W W 에 대해
1.
O ∈ W O\in W O ∈ W 2.
∀ x , y ∈ V , x + y ∈ W \forall \mathbf x, \mathbf y \in V, \mathbf x+\mathbf y \in W ∀ x , y ∈ V , x + y ∈ W 3.
∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V , a x ∈ W \forall a\in F, \forall \mathbf x \in V, a\mathbf x\in W ∀ a ∈ F , ∀ x ∈ V , a x ∈ W 의 세 조건을 만족할 때
W W W 를
V V V 의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.
2.1. 선형결합과 선형독립 ✎ ⊖ 벡터공간
V V V 의 원소들
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 에 대해
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ∈ F ) a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n(a_1, a_2 ,\cdots ,a_n\in F) a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ∈ F ) 꼴의 합을
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 의 선형결합혹은 일차결합(linear combination)이라고 한다.
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = 0 ⇔ a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n=0\Leftrightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0 a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = 0 ⇔ a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 일 때,
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다.
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 가 일차독립이 아니면
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.
벡터공간
V V V 의 원소들
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 의 선형결합으로 생성되는
V V V 의 부분공간을
{ x 1 , x 2 , ⋯ , x n } \{\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n\} { x 1 , x 2 , ⋯ , x n } 의 생성(span)이라한다.
V V V 의 부분공간
W W W 의 임의의 원소가
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 의 선형결합으로 나타내어지고,
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 의 임의의 선형결합이
W W W 에 속할 때,
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 는
W W W 를 생성한다고 한다.
벡터공간
V V V 의 원소들
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 이 선형독립이고
V V V 를 생성할 때,
x 1 , x 2 , ⋯ , x n \mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n 를
V V V 의 기저(basis)라고 한다. 임의의 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다.
V V V 의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고,
dim V \dim V dim V 로 나타낸다.
체
F F F 에서 정의된 두 벡터공간
V V V ,
W W W 에 대해
V V V 에서
W W W 로의 사상 중 합과 곱을 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping)또는 선형변환(linear transformation)이라 한다.
V V V 에서
W W W 로의 모든 선형 사상의 집합 역시 벡터공간을 이루며 이를
L ( V , W ) \mathcal L (V, W) L ( V , W ) 로 표시한다. 선형변환은
V V V 의 기저들의 변환값에 의해 완전히 결정된다.
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