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Zermelo-Frankel Set theory, ZF
집합론 체계 중 하나이다. ZF에서 선택공리를 추가로 가정한 체계를 ZFC라고 한다.
1. 공리 ✎ ⊖
- 외연공리 (Axiom of Extensionality) : 두 집합이 같은 원소만을 갖고 있다면 두 집합은 같다.
- 쌍의 공리 (Axiom of Pairing) : 두 집합을 원소로 갖는 집합이 존재한다.
- 분리공리꼴 (Axiom Schema of Separation) : \\phi가 변수 p를 갖는 1차 논리식이라 했을 때, 임의의 집합 X에 대해 \\phi(x,p)를 만족하는 x를 모은 집합 Y가 존재한다.
- 합집합 공리 (Axiom of Union) : 집합족 \\mathcal{F}가 주어졌을 때 \\mathcal{F}의 원소들을 모두 합한 집합이 존재한다.
- 멱집합 공리 (Axiom of Power set) : 어떤 집합의 부분집합들의 집합이 존재한다.
- 무한공리 (Axiom of Infinity) : 무한집합이 존재한다. 정확히는, 귀납적 집합이 존재한다.
- 대치공리꼴 (Axiom Schema of Replacement) : 모임 F가 정의가능한 함수이고 X가 집합이면 F(X)도 집합이다.
- 정칙성 공리 (Axiom of Regularity) : 임의의 공집합이 아닌 집합은 자기 자신과 서로소인 원소를 포함한다.
- 선택공리 (Axiom of Choice) : 임의의 집합족이 주어졌을 때, 집합족에 속한 각 집합에서 원소를 하나씩 뽑아와서 새로운 집합을 구성할 수 있다.
이 중 1번에서 8번까지 공리를 포함하는 체계를 ZF라 부르고, 9번을 포함하는 체계를 ZFC라 부른다. 정칙성 공리는 보통 수학에서는 잘 쓰이지 않지만 집합론에서 모든 원소들에 서수 rank를 부여하거나 선택공리 없이 기수를 정의할 때 쓸 수 있고, 선택공리는 현대 수학에서 널리 쓰이고 있다.
2. 참고 문헌 ✎ ⊖
- Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
