Chebyshev function
파프누티 체비쇼프가 발견하고 이름 붙인 두
수론적 함수를 말한다. 이 두 함수는 서로 연관되어있다.
첫 번째 체비셰프 함수(first Chebyshev function)
ϑ(1)는 다음과 같이 정의된다.
ϑ(x):=∑p≤xlogp
두 번째 체비셰프 함수(second Chebyshev function)
ψ는 다음과 같이 정의된다.
ψ(x):=∑pk≤xlogp
정의에 의해 다음이 성립한다.
ψ(x)=∑k=1∞∑p≤x1/klogp=∑k=1∞ϑ(x1/k)
모든 소수는 2 이상이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
ψ(x)=∑k=1[log2logx]ϑ(x1/k)=∑m≤log2xϑ(x1/m)
또한
x>0에 대해 다음이 성립한다.
0≤xψ(x)−xϑ(x)≤2xlog2(logx)2
이는 다음을 보장한다.
limx→∞(xψ(x)−xϑ(x))=0
ψ(x)=∑m≤log2xϑ(x1/m)에서
0≤ψ(x)−ϑ(x)≤∑2≤m≤log2xϑ(x1/m)
을 얻는다. 또한 정의에 의해
ϑ(x)≤∑p≤xlogx≤xlogx이므로
0≤ψ(x)−ϑ(x)≤2≤m≤log2x∑x1/mlogx1/m≤(log2x)xlogx=2log2x(logx)2∴0≤xψ(x)−xϑ(x)≤2xlog2(logx)2
정의에 의해 다음이 성립한다.
ψ(x)=∑1≤n≤xΛ(n)
x≥2에 대해 다음이 성립한다.
ϑ(x)=π(x)log(x)−∫2xtπ(t)dtπ(x)=logxϑ(x)+∫2xt(logt)2ϑ(t)dt
체비셰프는 다음을 증명했다,
상수
c1,c2가 존재해서
x≥2에 대해
c1x≤ϑ(x)≤ψ(x)≤π(x)logx≤c2x가 성립한다.
또한,
liminfx→∞xϑ(x)=liminfx→∞xψ(x)=liminfx→∞xπ(x)logx≥log2와
limsupx→∞xϑ(x)=limsupx→∞xψ(x)=limsupx→∞xπ(x)logx≤4log2가 성립한다.
사실, 다음 두 식은 각각
소수 정리 limx→∞xπ(x)logx=1과 동치이다.
limx→∞xϑ(x)=1limx→∞xψ(x)=1