체비쇼프 함수

최근 수정 시각 : 2024-10-24 23:17:31 | 조회수 : 66
필리스 슐래플리체비쇼프 함수


Chebyshev function

파프누티 체비쇼프가 발견하고 이름 붙인 두 수론적 함수를 말한다. 이 두 함수는 서로 연관되어있다.

1. 정의

첫 번째 체비셰프 함수(first Chebyshev function) ϑ\vartheta(1)는 다음과 같이 정의된다.
ϑ(x):=pxlogp\vartheta(x):=\sum_{p\leq x}\log p

두 번째 체비셰프 함수(second Chebyshev function) ψ\psi는 다음과 같이 정의된다.
ψ(x):=pkxlogp\psi(x):=\sum_{p^k\leq x}\log p

2. 성질

2.1. 두 함수의 연관성

정의에 의해 다음이 성립한다.
ψ(x)=k=1px1/klogp=k=1ϑ(x1/k)\psi(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{p\leq x^{1/k}}\log p=\sum_{k=1}^{\infty}\vartheta(x^{1/k})

모든 소수는 2 이상이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
ψ(x)=k=1[logxlog2]ϑ(x1/k)=mlog2xϑ(x1/m)\psi(x)=\sum_{k=1}^{\left[\frac{\log x}{\log 2}\right]}\vartheta(x^{1/k})=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})

또한 x>0x>0에 대해 다음이 성립한다.
0ψ(x)xϑ(x)x(logx)22xlog20 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}

이는 다음을 보장한다.
limx(ψ(x)xϑ(x)x)=0\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)=0

2.1.1. 증명

ψ(x)=mlog2xϑ(x1/m)\psi(x)=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})에서
0ψ(x)ϑ(x)2mlog2xϑ(x1/m)0 \leq \psi(x)-\vartheta(x) \leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})

을 얻는다. 또한 정의에 의해 ϑ(x)pxlogxxlogx\vartheta(x) \leq \sum_{p \leq x}\log x \leq x\log x이므로
0ψ(x)ϑ(x)2mlog2xx1/mlogx1/m(log2x)xlogx=x(logx)22log2\begin{aligned}0 \leq \psi(x) - \vartheta(x) &\leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}} x^{1/m} \log x^{1/m} \\&\leq (\log_2{x}) \sqrt{x} \log\sqrt{x} \\&= \frac{\sqrt{x}(\log x)^2}{2 \log 2}\end{aligned}
0ψ(x)xϑ(x)x(logx)22xlog2\therefore 0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log2}

2.2. 망골트 함수와의 연관성

정의에 의해 다음이 성립한다.
ψ(x)=1nxΛ(n)\psi(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\Lambda(n)

2.3. 소수 계량 함수와의 연관성

x2x \geq 2에 대해 다음이 성립한다.
ϑ(x)=π(x)log(x)2xπ(t)tdt\vartheta(x)=\pi(x)\log(x)-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}dt
π(x)=ϑ(x)logx+2xϑ(t)t(logt)2dt\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\vartheta(t)}{t(\log t)^2}dt

2.4. 소수 정리와의 연관성

체비셰프는 다음을 증명했다,
상수 c1,c2c_1,c_2가 존재해서 x2x \geq 2에 대해 c1xϑ(x)ψ(x)π(x)logxc2xc_1x \leq \vartheta(x) \leq \psi(x) \leq \pi(x)\log x \leq c_2x가 성립한다.

또한, lim infxϑ(x)x=lim infxψ(x)x=lim infxπ(x)logxxlog2\liminf_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \geq \log 2

lim supxϑ(x)x=lim supxψ(x)x=lim supxπ(x)logxx4log2\limsup_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \leq 4 \log 2가 성립한다.

사실, 다음 두 식은 각각 소수 정리 limxπ(x)logxx=1\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1과 동치이다.
limxϑ(x)x=1\lim_{x\to\infty}\frac{\vartheta(x)}{x}=1
limxψ(x)x=1\lim_{x\to\infty}\frac{\psi(x)}{x}=1


이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.
(1) θ\theta로 표기하기도 한다.